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336 LIVRE 11, vante :

dE dE dr dr air, Lonee ME oes ent A CAPES DT LS #4 48 ) ( dy’ cos i) (æ x ) (F dx’ c ) ©

Si les coordonnées x’, y' n'étaient pas données et que la tangente, ou fa normale, füt assujettie à passer par un point donné, ou bien à être parallèle à une droite donnée, on obtiendrait immédiatement, d’après les équations précédentes, une équation entre x’, y’, qui, jointe à celle de la courbe, déterminerait ces deux inconnues. Si, au lieu de chercher les solutions réelles de ces deux équations, on construisait les lieux géométriques qu'elles représentent, en y regardant x , y comme variables, les points d’intersection de ces lieux, dont l’un est la courbe proposée, seraient les points de contact cherchés.

233. On appelle sous-tangente et sous-normale les pariies de l’axe des x comprises respectivement entre le pied de l’ordonnée du point de contact et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale. Elles ont pour expression la valeur de x — x’ relative à y = o dans les équations respectives de la tangente et de la normale. Elles“ seront dirigées vers les x positifs ou négatifs, à partir du pied de l’ordonnée, suivant que x — x’ sera positif où négatif.

Nous appellerons longueurs de la tangente et de la normale les parties de ces lignes comprises entre le point de contact et les points où elles coupent respectivement l'axe des x.

Il est facile d'obtenir l'expression de ces différentes lignes. Nous supposerons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires, et nous représenterons par T la tangente, par N la normale, par $, la sous-tangente, et par S, la sous-normale. Cela posé, on trouvera facilement les for-

s de CEA fe UL 7 Ml

Es EX DES DIXFÉRENIIELLES , ETC. “

EXEMPLES. # 7 hyperbote — Si l’on applique toutes ces for- gr 4 Ellipse. et à l’hyperbole, renfermées dans l’é- RU. È a + PR LE PRES “.

(je a.

uvera les résultats suivants : e REP a(æ—x)=0 s à , équation de la tangente ; ne eue b'xx 1 bè; | | er by — y')Ea y!'(x—x)—= 0, équation de la normale; 4 18 CT tx #1 Rs 0) n = + Au ; eh ; Va y? + b' x’? N— — Va: ie au b: x'?. À

ol. — Si l’on considère la parabole ayant DOUÉ

, équation de la tangente;

4 | SR 1 ei æ'), équation de la normale, s

ui 4 Lire

Logarithmique.— Considérons maintenant la logarithmique ayant pour équation y — al — ; a et m sont des li- < In gnes données, et les logarithmes sont relatifs à la base de. Neper, ce qui ne diminue en rien la généralité de l’équa-tion. On aura, dans ce cas, dy a dx x?

; & , r À , A DE rene (æz — x’), équation de la tangente;

Ed ; : F—ÿ.=— ne £e x’), équation de la normale; / “A j : a? 1 — : æ À a m S—=— x 1—, ART Ca .

ri vA TX

Si l’on prend la sous-tangente et la sous-normale sur l'axe des y au lieu de l’axe des x, elles auront pour expression la valeur de F—Y relative à x = 0.

On trouvera ainsi

Cycloïde. — Considérons encore la eycloïde, qui jouit de plusieurs propriétés très-remarquables.

Elle estengendrée, comme nous l'avons vu, par un point de la circonférence d’un cercle qui roule, sans glisser, sur une droite indéfinie à laquelle il est tangent. Elle se compose d’une infinité de branches superposables, ayant cha= cune pour base une partie de la droite égale à la circonférence du cercle mobile.

Prenons la droite donnée pour axe des x, et l’origine en un quelconque des points où elle est rencontrée parla courbe. Soient B ( fig. 85) le point de contact du cercle générateur avec l’axe des x, et l'arc MB égal à AB; le

point M appartiendra à la cycloïde. Désignons par w l'angle MOB qui pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à E © ; il est facile d'établir les équations suivantes, dans lesquelles a désigne le rayon du cercle :

æ—a(w— sin), J = a{r— cosw).

Ces équations ont lieu dans toute l'étendue de la courbe, L'équation entre x et y sera

ZT 4 Arc COS — Vaay — y;

mais il faudra avoir soin de changer alternativement le signe du radical dans les deux moitiés de chacune des branches successives. Différentiant ces équations, on aura

dx —=a(1— cos) do — ydw, dy = asmode,

Ro Nea—.r A: a”

: 2a— y’ PA LR er =\/—;—1(x— x), équation de la tangente;

J T—r =— De (x — x’), équation de Ja normale; 2a — y! î j FFSA | S=r S, = V2ay — y" = BP, T= y'A/ — Ne M MR:

V L TT V2a) MB

La valeur de S, ou de N prouve que la ligne MB est la normale , et, par suite, que la tangente est MC.

formules analogues en coordonnées polaires.