L . dy

Or)

" dx?

et dans un système de coordonnées polaires

Les réciproques des valeurs de R seraient celles de la courbure.

Si l’on prenait pour variable indépendinte une quantité quelconque £ différente de l’abscisse, on déduirait l'équation suivanie des formules générales par lesquelles on opère cette transformation :

dr. PAS + is PS dt? de? R ds ne RE — 1 = ————— + di dy dj dx de d'y — dy dx

dt d®T dt dr

On aurait pu passer aussi à la valeur de R exprimée en coordonnées polaires, en partant des coordonnées rectangulaires. On aurait trouvé la formule obtenue ci-dessus : d’une manière directe.

Appliquons cette transformation au cas où la courbe serait donnée par une équation entre l’ordonnée et l’are, et prenons l'arc pour variable indépendante ; on a

ne ï dx a Ye dx d'y dy dx + FT AT

ms —— mt ms

ds ds? ds ds? ”

di Max, "4 dy d° RATES ds ds! ds dit CR

d'où l’on tire

Il serait, du reste, irès-facile de trouver directement cette dernière formule. On déterminerait l'angle de con-

inc do. en partant de la formule sin Mae d’où üngence d9, pé 3 Pr

ds?

FT ds = cosode = dy V ve re

donc

formule qui coïncide avec celle que l’on avait obtenue par le changement de la variable indépendante.

Courbes osculatrices.

952. Si l'on considère, au lieu d’un cerele, une courbe représentée par une équation donnée de forme, et contenant un certain nombre de coeflicients indéterminés, on pourra lui donner autant de points communs avec la courbe proposée, qu'il y a de ces coeflicients. Si l’on fait ensuite tendre tous ces points vers le premier, la limite vers laquelle tend la courbe variable se nomme la courbe osculatrice de la proposée, relativement à celles qui sont renfermées dans l'équation indéterminée.

Ces conditions géométriques peuvent être exprimées par des relations très-simples entre les coeflicients diftérentiels successifs des ordonnées des deux courbes : soient Li, Las Lg...) XL 1eS abscisses de m2 points communs à deux courbes, croissant par degrés inégaux suivant une loi quelconque ; on supposera, pour mettre le plus de généralité possible dans la question , que l’on prenne pour variableindépendante une quantité quelconque t, dont x, et par suite y, seront des fonctions connues.

Soient Y1, Vas 352. Ju les valeurs de y relatives aux points communs; les différences successives de y, jusqu’à l'ordre #2 — 1 peuvent s'exprimer, comme on le sait, au

de part et d'autre, et, par suite, pro limites e. aussi les mêmes. FH

Les m — 1 premières dérivées de y par rapport à & au! ront donc les mêmes valeurs au point commun, dans less deux courbes, et il en sera de même de

dx dx L'on eh arr

a greg dt dt? dinri

Or on sait, d’ après les formules relatives au changement, | de la vari ble indépendante , que les valeurs de

46 dy kr dry )

dx’ dx?

ne dépendent que des dérivées de x et de y par rapport à £, depuis le premier ordre jusqu'à celui que l'on consi-\ dère , inclusivement, |

Donc, quelle que soit la loi continue suivant ci les points communs se rapprochent du premier, la courbe | limite < scra telle que pour x = x: les quantités,

y y dn—\ d: , 18 9 MT TT, À] ee à.

F EN dr dx? dant

auront La mème valeur, si on les tire de son hs où de l ÉRHAu de % coutbe donnée, LR 4 :

de dy.

Fri quantités y CT Par run

ions des deux courbes, et dans lesquelles on donnera : à f

9 ne on tirera des é équa :

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 301 et y les valeurs x,, y 1 du point que l’on a choisi sur la première courbe.

Mais on formera plus simplement ces 72 équations en diflérentiant #2 — 1 fois l’équation qu’il faut déterminer, etremplaçant dans celle-ci et dans ses 72 — 1 dérivées, æety par Zi, Y1, et les dérivées de y par celles qu'on tirera de l'équation connue.

elle est la méthode générale au moyen de laquelle on trouve l'équation de la courbe osculatrice d’une espèce donnée.

L Contacts de divers ordres.

253. Lorsque deux courbes ont un point commun, et que l’on augmente l’abscisse de ce point d’une quantité “infiniment petite, la différence des ordonnées est généralement du premier ordre.

Si cette différence est du deuxième ordre, on dit que les courbes ont un contact du premier ordre; si elle est du troisième ordre, on dit que le contact est du second; et, en général, il y a un contact du 2°°"° ordre éntre deux courbes , lorsque la différence de leurs ordonnées, à partir “du point commun, est un infiniment petitde l’ordre 7 +1 : d'où il suit qu'entre deux courbes qui ont un contact d’un certain ordre, il est impossible qu’il en passe une autre dans le voisinage du point commun, si son contact avec l’une quelconque des deux est d’un ordre infé- . rieur.

Pour qu'il n’y ait rien d’incertain dans cette définition dés contacts de différents ordres, il est nécessaire de démontrer que l’ordre du contact est indépendant de la direction des axes; or c’est ce que l’on établit facilement en prouvant que, pour un point quelconque de l’une des courbes, les différences des ordonnées des deux courbes considérées relativement à des axes différents sont dans un rapport fini. Cette diflérence est la plus petite possible

Lu:

quand les ordonnées sont perpendiculaires à la tangente” au point commun. |

La seule direction qu’on doive excepter pour les ordonnées est celle de la tangente au point commun.

Maintenant, si l’on développe en séries les ordonnées des deux courbes suivant les puissances de l'accroissement de l’abscisse du point commun, on reconnait immédiatement que le contact entre ses courbes sera de l’ordre n, si les 2 premières dérivées de l’ordonnée par rapport à l'abscisse sont respectivement égales pour chacune des courbes, quand on y substitue l’abscisse du point commun : Car, dans ce cas, la différence des ordonnées exprimée au moyen des deux termes qui complètent respectivement les deux séries, est un infiniment petit de l’ordre nn + I.

C’est là le caractère analytique auquel on reconnait l’ordre du contact de deux lignes qui ont un point commun.

Autre manière d'envisager les courbes osculatrices.

254. IT résulte de ce qui vient d’être dit sur le contact des courbes, que pour avoir la courbe d’une espèce don-" née, qui a le contact de l’ordre le plus élevé avec une courbe dont l'équation est connue, il suffit de déterminer les coeflicients arbitraires de l’équation générale des“ courbes dont l'espèce est donnée, en exprimant que, pour l’abscisse que l’on considère, les ordonnées sont respeeti- | vement égales, ainsi que leurs dérivées successives jus= qu’à l’ordre le plus élevé possible. On établira ainsi au= tant d'équations qu'il y a de coefhcients indéterminés: L'ordre du contact sera le nombre de ces équations, moins une. . |

On voit par là que la courbe osculatrice et la eourbe qui à le contact de l'ordre le plus élévé sont identiques:

Pour la ligne droite, dont l’équation n’a que deux coefficients arbitraires , le contact ne sera, en général, que du premier ordre; il sera du deuxième pour le cercle. Maïs il pourra arriver qu’en certains points particuliers le contact soit d’un ordre plus élevé.

Lorsque l'équation de la courbe osculatrice cherchée west pas résolue par rapport à y, on forme ses équations

LI LA L2 . “ d différentielles successives et l’on y substitue à y", sa , EtC., dx

les valeurs tirées de l’équation de la courbe donnée. Les seules inconnues sont alors les coeflicients; et s’ils entrent tous au premier degré, on trouvera un seul système de valeurs, et, par conséquent, une seule courbe osculatrice.

Lorsque le nombre des dérivées communes est pair, la différence est d’un ordre impair, et, par conséquent, change de signe avec l’accroissement de x! : donc alors les courbes se coupent. C’est ce qui arrive, en général, pour le cercle osculateur.

Si, au contraire, le nombre des dérivées communes est impair, la différence est d’ordre pair et ne change pas de signe avec l'accroissement de x’ : les lignes ne se coupent donc pas. C’est ce qui a lieu dans le cas de la ligne droite, excepté aux points d’inflexion.

255. Les courbes les plus simples que l’on puisse mettre en contact avec une courbe donnée sont celles qui sont renfermées dans l’équation

T=A+Bz+ Cr +...+Kzr.

On peut établir un contact de l’ordre m—x entre les deux courbes, et l'on aura immédiatement l'équation de la courbe osculatrice en développant son ordonnée par la formule de Taylor, après avoir remplacé x par x/+(x—x"). Cette équation est la suivante, dans laquelle les dérivées de y sont remplacées par celles que donne l'équation de

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