Parabole. — Soit x? — 2 py ; on en tire
æ? AY ULE. RUES I =) EE (= Se 2DŸ NdZ ;;" p dE, EE
La valeur du rayon de courbure sera
x?) nr (15)
Les coordonnées du centre de courbure seront données
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 373 par les équations | # Y—6—=—-pli+—-
et
Éliminant x et y entre ces deux équations et celle de la
parabole, on trouve, pour équation de la développée,
ee LE
6—p—ip" a.
Cette courbe a un rebroussement du premier genre au point pour lequel & — O0.
Ellipse. — L'équation a°y* + b?x? — a? b° donne
PR LOEE dire b:
dx «y dx? PUR TE A bæ)?
” a" bi
Or, eu désignant toujours par N la longueur de la normale, on a
STE ea ETS | Ru ne donc
Le fee P p désignant le demi-paramètre.
On trouverait la même formule pour l’hyperbole et la
parabole. Les coordonnées du centre de courbure seront données par les équations
bre
2 DATE REA (ay + br )x
F Hennl * P= a? b‘ b? a“ Si, au moyen de l’équation de l’ellipse, on élimine x de la première, et y de la seconde, on trouve, en posant
LA Re 4e + \e :
# d 3 4 : ! ’ . é LS S 374 NAN OR VRRUTE À SODOONNSRRS . b*6 2 ER FR ATOUT ou 4 #4 DR ON TER YF —= — Pre , LE T4 œ' c° c°
et, substituant dans l’équation de l'elipse, on a, s, pour! l'équation de la développée, | +
SAT z + = b5 63 — a — çc°
65 — avat = — 0.
Elle se déduirait de celle de l’ellipse en y changeant b? enis-0" | 4 Cycloïde. — L'équation différentielle de la. eydloi de est ds | 70) dy: 24 | LES RS TAUX
= = —— 1, d' ee dx We a Fe dx? LR
et, par suite, ee V D AY 000 N désignant la normale; d’où l’on conclurait, comme précédemment, que la développée d’une cycloïde se com= pose de deux demi- cycloïdes identiques à la première. On peut déterminer l'aire de la cycloïde en la considé: rant comme la somme des parties comprises xt | rayons de courbure consécutifs. : "4 Soient QH, PK (/ig 62) deux rayons, nt vo -
sins, S leur point de concours, et PR pres à AA';le |
Lu Ra +
tapport des triangles semblables SLEF, SRP est Fe
CALGUL DES DÉRIVÉES EY DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3790 la limite est +; de plus, QRP est infiniment petit par rapport à ces triangles, ainsi que l’aire HSK. Donc la limite de la somme des aires LFPR, depuis A’ jusqu’à A, est l'aire comprise entre la cycloïde AEA et sa base; et la limite de la somme des triangles SLF est l’aire comprise entre AA’ et les arcs AB, A’B : cette aire ajoutée à la première forme le rectangle construit sur AA’ et 2 a. D'ailleurs le rapport de LFPR à SLF à pour limite 3, puisque le rapport de SPR à SFL a pour limite 4. Donc Paire de la cycloïde AEA’ est les trois quarts du rectangle qui a pour base 27ra et pour hauteur 24, ei dont l'aire est, par conséquent, 47 &°.
L'aire de la cycloïde est donc 3r a”, ou trois fois celle du cercle générateur.
Spirale logarithmique. — Son équation r — ae" donne, comme on l’a vu ci-dessus,
dr m0 d? 1 È "n0 nt NC , FH NNrUE 9 d0 d 0?
N == 4e"0 Vi+ m?' = MO, (fig. 91) S, = mae"? — AO. On trouvera, pour le rayon de courbure, R—ae" it m, où R— MO.
Le centre de courbure est donc à la rencontre de la nor male avec la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur.
Si l’on pose DR PT AU
| 0 2 . ° , , ï > l'équation polaire de la développée sera, d’après ce qui
précède "
r — mac FA
FE PEN RE UT ne î a Fr
376 LIVRE 11. ÿ
On peut lui donner la même forme qu’à la proposée, en comptant les angles à parür d’une droite faisant avee AX un angle « tel, que l’on ait |
PFéquation précédente devient alors
= ae".
La développée d’une spirale logarithmique est donc“ une spirale identique, et qui coïnciderait avec elle, si on la faisait tourner autour du pôle, d’une quantité angu-
r ll"
laire x égale à - — —- 2 nm
La différence des deux rayons de courbure MO, M'O' étant égale à l’arc OO” de la développée, ik s'ensuit que si le point M’ tend indéfiniment vers le pôle, ainsi que ©, l'arc OO’ se rapprochera indéfiniment d’être égal. à MO.
Ainsi la longueur totale de l'arc d’une spirale logarithmique compris entre un point quelconque O et le pôle asymptote, est égale à la tangente OM terminée à: la perpendiculaire au rayon vecteur AO, menée par le”
pôle
TN, à #3
