Les équations de la sécante passant par le point

x’, y’, 2! de la courbe et un autre point infiniment vo®

sin, sont

A x AY Ven À RSS ke East f-: RE EN DCE U

Donc les Pa de la tangente seront, en prenant ces!

rapports différentiels à leurs limites,

Si la courbe est déterminée par les CRE de ses

dx!

projections sur les PIRGE XZ, YZ,on uürera==er : de

dz LA chacune d'elles.

Si elle est donnée par deux éqüations à trois variables |

Fr, 2)=0, {2720 ou en déduira dE dx! PLA dE dy or df dx}; 1df LPO di di Taj di dé dr dd

et il faudra tirer de ces deux équations les valeursde

dx" dy!

Ti qu Pour Îles reporter dans les précédentes, ou éli-

ln!

4 art

dx” dy da? dz équations ; on obtient ainsi, pour les équations de Ja tan- gente,

miner de toute autre manière + entre les quatre

dE } dF | dF LS CR iv) ua) df df

À ! f / Rad; ;0r—-r)+te

Nous verrons plus tard que ces équations ne sont autre chose que celles des plans tangents aux surfaces représentées par les deux équations données, et dont la courbe donnée est l'intersection. |

266. On appelle plan normal celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Son équation sera, d’après celles que nous avons données d’abord pour Ja tangente,

Z— 2 + — (x LE ST EMRANTS == 01 ou (&—2) dt +(yr—')dr + (272) d/ = On pourrait parvenir à cette même équation en cherchant le lieu des droïtes menées par le point x’, y’, z’, pérpendiculairement à la tangente.Soïent, en effet,x, y, z les coordonnées d’un point quelconque d’une -de ces droites , les cosinus des angles qu’elle fait avec les axes sont proportionnels aux quantités x—x',y—7',z—2/; ceux qui se rapportent à la tangente sont proportionnels à dx’, dy, dz! : or, pour que ces deux directions soient perpendiculaires, il faut que le cosinus de leur angle soit nul; d’où résulte, pour tous les points du lieu, {æ — x) dx + (y — y) dy! + (z Fs z' JS 267. On peut encore obtenir l'équation du plan normal en le considérant eomme la limite du plan qui ren-

ferme les points communs à deux sphères égales ayant leurs centres en deux points de la courbe, infiniment Voisins.

Soient RU z!' les coordonnées du premier point; x'+ Ax',y'+ Ay', z'+ Az! celles du second, et RE rayon des sphères; l'équation de la première est |

(x — x} + (y — JP + (2— 7} =R; celle de la seconde est aa) + (y y ay} + (es Ad) =R

Elles ont lieu en même temps pour les points communs, et si on les soustrait l’une de l’autre, on trouve , en négligeant les infiniment petits du second ordre et substi tuant les différentielles aux différences ,

(x — x’) dx'+ (y — y") dy! + (z — 7!) dz' = 0.

Cette équation étant du premier degré est celle du plan qui contient le cercle d'intersection des sphères, pris à 1 limite, ou du plan normal:

Toute ligne située dans le plan normal est dite zor= male à la courbe.

Tout plan passant par la tangente est nommé plan tan= gent à la courbe.

Plans tangents,. plans normaux, et normales aux surfaces courbes.

268. Plan tangent. — Une tangente à une surface est la limite vers laquelle tend une sécante menée par un point de cette surface, lorsqu'un second point di intersection tend vers le premier.

Ce second point pouvant tendre d’une infinité de ma nières vers le premier, il ya une infinité de tangentes à la surface en ce point. Nous allons démontrer que le lieu

de toutes ces tangentes est un plan, et nous lui donnerons le nom de plan tangent.

- Pour déterminer, en général , le lieu de ces tangentes, soit | M mz—0,.ou 2=/f(r,7)

l'équation de la surface.

Les équations d’une tangente quelconque au point x’, y', z' seront dx’ | TUE

Made), rer);

dy dz'° dz elles par l'équation

dx! l les quantités sont indéterminées, mais liées entre

DE dx dy ST 4 PDA L'aRS PT

dans laquelle p et q représentent les dérivées partielles

dz/ dz/ PQ x # :

(S) ; (5) » tirées de l’équation z = f(x,y).

PE, EL ee 2 dy" Si l’on élimine Hi + entre les trois équations précé- dentes, on aura l’équation du lieu de toutes les tangentes. On trouve ainsi

tan) (r 4)

M ei. Hs 0 , ou + $ Poe pair ah 9 (=), ou dz' f

\ Pen (T æ} FU 7.) dz! La) De € Er désignant les dérivées partielles de la fonction

dexety qui exprime la valeur de z. Cette équation étant

382 LIVAE 11.

du premier degré par rapport à x, y, z,il s'ensuit que le

lieu des tangentes est un plan. | L’équation du plan tangent prend une autre forme

quand l’équation de la surface est de la forme

For, rs 2 0e

et non résolue par rapport à Z.

dz dz!

On déterminera —, et — par les équations dx dy

CA dE dz! nl dE dF dz!

26 de 2 0 CES

et l'équation du plan tangent sera

dE dE , dE £ O0.

xz— x) — y) + (z— 3) — — ea) + br + (te

269. Normale. — La normale est la perpendiculairé au plan tangent, menée au point de contact; ses équa=

tions seront donc

dz/ dz/ D RP EPST DNS TUE JP A #1 ou aise CHAR dE dE.

(ax) =(s 2) RE nr |

Plan normal. — Si, au point de contact d’une tan=. gente à une surface, on mène un plan perpendiculaire à cette ligne, on aura un plan normal à la surface. On trouvera son équation, soit en partant des équations d’une : tangente, soit par l'intersection de deux sphères égales dont les centres se rapprochent indéfiniment. De cette manière on aura pour l'équation d’un plan normal quel

conque au point x’, y', z', (x—x')dx + (y — y) dr + (z—2)dr=0%

Elle est indéterminée parce que les différenuelles dx

dy', dz! ne sont assujettis qu’à la condition

dz! dz!

d= pas + qd = dx ee RÉ

et si l’on substitue cette valeur de dz', on obtient

dz 5 dx! es + (2 = +)

cz’ a :

+ dy’ Four .(z—3)|= 0.

dy :

Cette équation changera avec le rapport que l'on établira enire dx’, dy', et représentera tous les plans normaux au point donné.

De cette équation du plan normal on peut déduire celle de la normale, et, par suite, du plan tangent. En eflet, on voit quelle est satisfaite, quel que soit le rapport de dy’ à dx’, si l’on pose les deux équations

dz' dz' ; ne Mi — O, OR ANNE er PET

Donc tous les plans normaux se coupent suivant une même droite, représentée par ces deux équations. Cette droite étant perpendiculaire à toutes les tangentes, ces dernières sont toutes dans un même plan, ayant pour équation

dz/ dz'

4 4 A Dmst (mn) (y — y).

Te | F0 7) On trouve ainsi, indépendamment de la première méthode, les équations du plan tangent et de la normale.

Sur la distance des droites successives d'un système continu.