Si l’on considère une série de droites dont les

384 LIVRE I. | | équations générales dépendent d’une constante dont la valeur puisse varier arbitrairement.et d’une manière conünue, la plus courte distance de deux de ces droites, correspondantes à des différences infiniment petites entre les constantes, peut être du même ordre que ces différences, ou d'un ordre différent.

L'objet que nous nous proposons ici est de déterminer avec plus de précision qu'on ne l’a fait jusqu'ici l’ordre infinitésimal de cette distance, et c’est ce que nous ferons au moyen d’une remarque curieuse due à M, Bouquet. Elle consiste en ce que, si dans une série continue quelconque de droites, la distance de deux consécutives est généralement d'un ordre supérieur au premier, elle est au moins du troisième.

Soient, en effet,

x=az+a, Yÿ = bz +6

les équations d’une droite quelconque de la série, a, à, 4, 6 dépendant d’une certaine constante unique ; Aa, Ab, Az, A6 les accroissements des constantes, en passantà, une droite infiniment voisine, faisant partie de la même série : la plus courte distance d de ces deux droites sers) d’après une formule élémentaire connue,

AaA6— AbA«

DE ———— VAa'+ Ab+{(aAb — bAa}

Or, on a

DAS da + = d'a + da +.

Bees 2 2.3

At== dose die + : Da+..., 2 %,9

A6 — dé + = d'e LL STRESS 2 2.3

il en résulte + AaN6 — AbAx — (dad8 — dbda) + + (da d?6 + d6 d’?a — db d'a — dad?b)+....

Or, si le premier terme dad6 — dbda n’est pas nul, le denominateur de d étant un infiniment petit du premier ordre, et son numérateur du second, d sera du premier ordre. Si, au contraire, on a constamment

dad6 — dbda = 0,

le numérateur devient d’un ordre plus élevé de deux unités, parce que l’ensemble des termes du troisième ordre n’est autre chose que la moitié de la différentielle de da d6 — dbda, et cette dernière quantité étant constamment nulle, sa différentielle l’est aussi.

D'où résulte cette conséquence remarquable, que, si la distance de deux droites consécutives, prises dans une série quelconque, est généralement d'un ordre infinitésimal supérieur au premier, elle est au moins du troisième.

Le théorème que nous venons de démontrer est soumis, comme presque tous Îles autres, à des exceptions très-particulières ; il est fondé sur des développements généralement possibles, mais qui, pour certains points singuliers, pourraient devenir illusoires.

Application aux tangentes à une courbe.