TAPEZ
posons F(x) à: A, À, faq ré (x PS Ga) Ga 2 (x — a)}m—2 met LARraENg" o(x)’
ou, en multipliant par f(x),
(2) | P(r)=Ag(:ze) + A,(r — a)p(x)+A,(x—a)p(x) +... ( HA nr — a) o(x) + P(x — a)". .
Le nombre des coeflicients du polygone P, ajouté au nombre des constantes A, À,,..., À,,, est égal au nombre des termes de cette équation, et il s’agit de les détérminer de manière à la rendre identique. Si l’on y fait x = a, on obtient
d'où l’on tirera la valeur de À. Différentiant l'équation ( 2) et faisant ensuite x —@& , il vient
F'(a) = Ag (a) + Aip(a).
Différentiant successivement la même équation et faisant ensuite x = a, on imtroduira à chaque fois un nouveau coefficient, et l'on pourra ainsi, au moyen de m — 1 différentiations, déterminer À, A,,..., À,,. Les termes provenant de P (x — a)" disparaîtront tous par l’hypothèse LE = 4.
Cherchons la formule générale qui représente toutes ces équations successives, et, pour cela, différentions p fois l'équation (2).
Pour savoir ce qui reste de chacun des termes quand on fera x = «a après la diflérentiation , considérons le terme général À, (x — a)" o (x). On trouvera sa dérivée de l’ordre p au moyen de la formule connue
dans laquelle les-exposants de Qet R sont des indices de différentiation. On aura ainsi
dr\i(x—a )" TL :
RARE =n(n—1)...(n-p+i)(x—a)rro(x)
(3) +En(n—1)...(r—p+2)(r24a)7 rt) RD nn 1) mp3) (rer gr (ES a) GA Si p est plus grand que 7, les premiers termes auront des exposants négatifs, et on devra les ometire parce que leurs coeflicients seront zéro; cela tient à ce que quand (x— a) sera aflecté de l'exposant zéro, il donnera zér0 pour dérivée. | Voyons maintenant ce que devient le second membre de l'équation (3) quand on y faitx = a. Si l’on ap< n, il se réduit à zéro. Si l’on ap =n, il se réduit à son premier terme n(7—1)...2.1@ (a). Enfin, si l'on a p >, il faudra se borner à prendre le terme qui ? en a p—n avant lui, parce qu'il aura zéro pour expos sant; les précédents auraient donc un exposant négatif et doivent être omis, comme nous l’avons dit; et les sui” vants deviendront nuls quand on fera x —a. Le second membre de l'équation (3) se réduit donc alors à +
p(p —1)...(p—n +1) (ae).
Donc lPéquation (2), différenuée p fois en supposant p<<m, donnera, pour x—=a, en observant qu'il faut
s'arrêter à 2 =p,
, Nan PAU PRES Ses — 1) À, PPT CAES +p(p— 1). (P—n+Tr)A EP" (a) +... +p(p—1)...214,e@)r
Telle est l'équation générale qui, en donnant à p toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à »m —1 inclusivement, !
DES LIMITES DE SOMMES. 435 fournira »2 équations, d’où l’on déduira successivement chacune des quantités A, À,,.., A,,. Ces équations sont les suivantes :
F(a) —Ap(a), Pa) À p (a) + A,pCa), (a)= A (a) +2A,9'(a)+2.14,p(a), (5) F(a)= Ao"(a) + 3A,ç"(a)+3.2A,6'(a)+ 3.2.1A,p(a) Emen(a)=A pm" (a)-+(m—1) Ag ?(a)--(m—1)(m=—2)A gra) +(m—1)(m —2);..2.147 2 (a)
La première équation donne la valeur de A, et ce sera la seule inconnue si m1 — 1; la seconde fait ensuite connaître immédiatement À,, la troisième A,, et ainsi de suite jusqu'à À,, : et il n'y aura jamais impossibilité, parce que le coefficient du dernier terme n'étant jamais zéro, On trouvera toujours une valeur finie pour chaque inconnue.
Il reste à prouver que réciproquement, si l’on prend pour À, À,,..., À,,, les valeurs ainsi déterminées, on aura satisfait à l'identité (2). En effet, ces valeurs sont tirées des équations (5), qui expriment que l'hypothèse x = a annule le polynôme suivant et ses m —1 premières dérivées,
— À mi (ZX — GT" p (æ).
Donc, d’après un théorème connu, ce polynôme est divisible par (x— a)" et peut être mis sous la forme P(x— a)", P étant un polynôme entier qu'il sera facile de connaître. Donc les identités (2) et (1) seront satisfaites.
Cela posé, on pourra traiter d’une manière semblable
la fraction =) relativement à une autreracine multiple, ?
si elle en renferme, et continuer ainsi jusqu'à la dernière: Fa) les numérateurs seront indépendants de x, et dont les dénominateurs ne renfermeront respectivement qu'un seul facteur premier de f(x), élevé à une puissance égale ou inférieure au degré de multiplicité de ce facteur.
De plus, il est facile de reconnaître que cette décomposition ne peut se faire que d’une seule manière; car si les constantes relatives à la racine a, par exemple, étaient susceptibles de plusieurs valeurs, on devrait les trouver toutes , soit que le calcul füt fait d’abord pour cette racine, ou pour toute autre. Or nous avons reconnu que les constantes À, À,,..., À,, ne pouvaient avoir cha=. cune plus d’une valeur. Donc il n’est possible de décom-® poser la fraction que d'une seule manière en fractions
La fraction sera donc décomposée en fracüons dont
simples de la forme proposée. | On conclut de là que pour les racines autres que Ja première a, il ne sera pas nécessaire de recommencer les calculs sur le polynôme P et les suivants. Il suflira de changer dans les équations (5) les quantités mm, & et 9 (x), en celles qui se rapporteront à toute autre racine de l’é- | quation f(x) — 0; car c'est ce quë l’on obuendrait en commençant successivement par chacune d’elles.
314; Les calculs précédents exigent que l’on forme le polynôme o (x) qui est le quotent de la division de f (x) par (x— a)". On peut se dispenser de faire cette opéras tion, et exprimerg(a), ®'(a),...,g"-' (a), au moyen des dérivées de la fonction f (x) elle-même : on les substituera ensuite dans l'équation générale (4), de laquellese tirent toutes les équations (5). Or, si l’on diférentie les
deux membres de l'équation
| DES LIMITES DE SOMMES. : 437 ils se réduiront à zéro par l'hypothèse x = a, si le nombre des diflérentiations est inférieur à m. Supposons-le donc égal à m + p, p étant un nombre entier et positif quelconque.
Il est inutile de répéter ici ce qui a été dit au sujet de l'équation (3), et l’on aura, en faisant x — a dans les dérivées de l’ordre m1 + p, mfor(a)=(u+p)(m+p—ies.(p-+i) pla); d’où L frri(a)
L'équation (4) devient, par là,
Jrtr (a) fwtrsn(e) Fr A" à A D © ———— (a) (mpp)(m+p—i). (pH. (m+p—1)...(p+1) fm+p-3 (a) k fm a) AE —— —— NES do d'A AA TR Ra ER 6 à pa). (p+i ax Pom m—1)...(p+1)
Si lon donne à p toutes les valeurs depuis o jusqu'à Mm—1, Où aura, pour déterminer À, À jar: 2, AMD , les m équations suivanles :
De)
! frutrk(a) AC)
F = À (a) (mæ+ ir)..." m(m—i) à
' fm (a fmtt(a) | fm(a)
(9) (m+ 2) ) de ue 3 Lo 3
Kai a mess (a) m2 (a) fm 4
(a) RD * RSS CE YPO Re À }
315. Les calculs précédents peuvent s'appliquer? aux racines imaginaires égales, aussi bien qu'aux racines réelles. Mais les réductions entre les termes homologues relatifs aux racines conjuguées ne donnent pas immédia-
438 LIVRE il.
tement des résultats aussi simples que le mode de décom-\
position que nous allons faire connaître. | | Soient à& + 8V— 1 deux racines multiples de l’ordre
m de l’équation f(x) — 0, de sorte que l'on aït
FaRs ue [ (x — x} +6 ]Mo (x).
On posera
Per ASE D Aix +, Ami + Ba Pœ HOME OO CRE CRE EEE CET)
OoUu
F(x) —(Ar+Bp(x)+{(Aix+B)l(x = a) +6 ]o(x)+..
+ ir+B, )[(r = me) + 65] 6 (x) POSE) PeUS
Le nombre des coefhicients indéterminés est égal au nombre des termes qu'il faut égaler de part et d'autre, en ayant égard à ceux du polynônre P. Mais nous nous proposons ici de déterminer seulement A, B, À,, B,,..., A,:, B, 4 Or, si l’on fait x — x + V — 1 dans la dernière équa® tion et dans ses dérivées successives, chacune des équa® tions ainsi obtenues se partagera en deux autres, à causé. de la quantité imaginaire ÿ—1; et, de plus, il s’intro® duira dans chaque nouvelle équation deux nouveaux coefficients inconnus. Ainsi, la première déterminera À et B, la seconde À, et B;, etla m'°"°, À,, et B,. | Ces mèmes formules s’appliqueraient aux autres racines imaginaires égales, en changeant convenablement
Te D (VERT
On pourrait encore, comme dans le cas des racines réelles égales, se dispenser de former le quotient ® (2), et faire dépendre sa valeur et celle de ses dérivées, pour x—a+6\—1, des valeurs que prennent, dans da même hypothèse, les dérivées de f(x); maïs les formules soni moins simples que dans le cas précédent. |
DES LIMITES DE SOMMES. A59 316. Cela posé, revenons à l'intégration de la fonction
Frog FL
La décomposition de la fraction
FL Peer , d’après les pro- OM P r pr Q * 34 » Q x LL r cédés qui viennent d’être exposés, conduira à l'intégration d'expressions ayant respectivement l’une des formes suivantes :
À dx A dx (Ax+B)dx (Ax+B)dx a (ra) (r—a}+6 [(x—a) +6}
Examinons-les successivement.
1°, La première donne immédiatement
ES PNA A
Si dl
2°, On trouvera, pour la seconde,
A dx + A c (æ — a)" FO AUE (n —1)(t— a)" er
32, Pour Îa troisième, on la décomposera comme il Se |
(Ax+B)dx __ A(x—u)dxz (Ax+B)dxr Gama) +6 [x—a) +6 (x a) Le
La première de ces deux nouvelles fractions ayant pour numérateur le produit de À par la moitié de la différentielle du dénominateur, est la différentielle de
I < pig 1 [(x — à } ce 6° |.
Pour intégrer la seconde, on posera
Mraus— 07) d'où. dx —=%6ds,;
et elle devient Ax+B dz Gi 1 + 7°
ce qui est la différentielle de * F4
Aa<+B
2 arc tang 2.
Donc
