CHAPITRE HI

311. Toute fonction rationnelle de x peut être consi2 dérée comme composée d’une partie entière par rapport à x et d’une fraction dont le numérateur est d’un degré moindre que le dénominateur : il y aura des cas où l'une de ces deux parties seulement existera. La partie entière s’intégrant toujours immédiatement , il ne peut y avoirde dificulté que pour la partie fractionnaire; et c’est la méthode de décomposition qu’on y appliquera.

grer, F (x) étant d'un degré moindre que f(x). On che: F(x) J (x) pour dénominateurs les facteurs premiers de f(x);«ce qui exige d’abord que l’on cherche les racines de ce poly:

Soit donc

dx la différentielle qu'il s’agit d'inté’

chera à décomposer

en fractions plus simples, aÿant

nôme. Supposons-les déterminées, et considérons d’abord le cas où elles seraient toutes inégales ; désignons-lespar a;,b,c,...,l: Soïent A,B, C,...,L, des conte indéterminées, et proposons-nous de satisfaire àli= de ntité

Ft) 22" 4 B

SATA RE) MAT ES ‘ou, en multipliant par f(x), u)rt)=a26 +8 0 LOTO)

x —b x —0c | zx — l

Toutes ces divisions indiquées dans le second membre donnent des quotients entiers, et les indéterminées sont eu même nombre que les différents ordres de termes, relativement à x : on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant, suivant la méthode ordinaire, les coeflicients des mêmes puissances de x dans les deux membres. Mais il existe dans le cas actuel un moyen beaucoup plus simple. En effet, si l’on fait x — à, l'identité subsistera toujours , et tous les termes du sécond membre disparaif (x)

pourrait.faire d'abord la division par x —a, puis faire æ = a dans le quotient-entier. Mais il vaut mieux traiter

la in PAG TXT — «A

iront, exceplé À - Pour savoir ce qu'il devient, on

d’après la règle relative aux fractions

= et l’on voit alors qu'elle se réduit

qui se réduisent à s / à f” (a).

Ainsi l'hypothèse x — à réduit l'identité à la formule suivante :

F (a NESE (4 S pe \ s Ble)= A/'(a), d’où Se Fab 04 3: « 2 et comme f (a) n’est pas nul, puisque & n’est pas une racine multiple, il est toujours possible de déterminer A de manière à ce que l'équation (1} ait lieu pour x — a. On voit de même qu’en prenant

F(b) Meet veuf

l'équation (1) sera satisfaite par x —b,x —c,...,x— 1. Il reste à en déduire la preuve de l'identité (1); car il est tès-important d'observer, en général, qu’il ne suffit pas d'avoir trouvé des valeurs pour les coefficients indéter-

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minés , lorsque l’on n'a pas prouvé d'avance la possibilité

du développement. Or on sait que quand deux fonctions entières de x sont égales pour un nombre de valeurs particulières de x, supérieur au degré du terme le plus élevé, elles sont égales, terme pour terme. Donc les deux membres de l’équation (1) sont rendus identiques par les valeurs trouvées pour À, B, C,..., L, puisqu'ils sont égaux pour les diverses valeurs a, b, c,..., l, dont le nombre surpasse d’une unité le degré du terme le plus élevé.

312. S'il y avait des racines imaginaires, rien ne serait changé dans les raisonnements précédents. Les constantes qui se rapporteraient à deux racines conjuguées, ne diflé® reraient l’une de l’autre que par le signe de Ÿ —+, et les deux fractions seraient de la forme

Si l’on veut faire disparaître les imaginaires, on effectueri la somme de ces deux fractions, qui se réduira à

ASE fs : ñ À #.% On agirait de même pour toutes les autres racines image naires. |