PASSAGE DES INTÉGRALES INDÉFINIES AUX INTÉGRALES DÉFINIES

353. Nous avons démontré, dans le n° 304, que si la dérivée Le fonction quelconque F (x) est continue pour toutes les valeurs de la variable depuis x, jusqu'à x, la différence F (x) — F (x,) est la limite de la somme des valeurs que prend F’ (x) dx, lorsque l'on fait passer la variable de x, à x, par degrés infiniment petits repré-

| sentés par dx; d’où résulte la formule

(1) Jade = FC) Fa) To

Ainsi, pour connaître lintégrale définie de F’{x) dx entre des limites données, lorsque l’on connaît l’intégrale indéfinie, ou une fonction quelconque F (x) ayant pour dérivée F'(. x), il suflit de substituer les limites de l’intésrale dans F (x), et de retrancher le résultat relatif à la plus petite limite, de celui qui se rapporte à la plus

grande.

Exemples :

A1 20 A 2) , © | am dr — À ; etEdX ex, e—ar dx — F [ dx ME us À m-+ 1 CN EL © A 0 (a % T " dx TT — ‘Es ELA re Fra E— 12 es (xz— a) + L° L LE

ee) , mi b na% cos bxdr — =, | Re Sin nee 0 me b° /

T T Aile 2456.08 2 s 2441 dx — 4 k Fe in t EN Mat Le) Î cos 2h+i 4 o 0 T LL es sintk dr = 59 CA— 1) nt = j'en nr as 2 $ +0 T 2.4.6 2%

L COS SD de = ——— ; (2i+i1)(2i+3).. (ai+ok+s)

? cosx sintkxdr — Dan A LIST FORTE

Ce)

fier (24 — 1); :

LOTS RONA X Pr 47

RUE RE ru AG <

| AD LR de cal SEE 1)

Ces dernières intégrales rentrent dans deux des précéden- £ s dx | tes en posant © — sin z; d'OU 25.

Vi x — x?

{ k EG Al: x?" L'intégrale indéfinie de — Née I

peut être déterminée

x? K men x?" + I dans laquelle on peut toujours supposer m< n. D'aprèsk

: . 2M HI cela, si l’on fait a; on obtiendra

en décomposant en fractions simples l'expression

é Mo | 28 PA | e 4 à ui { = 7 [sine sinaz + sinSar ++ sin (on art

HA nsin:

On aura éncore, en supposant que 77 el 72 soient des nombres entiers positifs, tels quem< n,

a dr T PER ES SE mr,

CAB. mi : !

Si maintenant on pose x" —z,——a, celte équation , l ñ

Mari dé Tr devient ME > a ayantune valeur commen- 1 +23 sin ar

surable quelconque comprise entre o et 1, et pouvant avoir aussi, par conséquent, toute valeur incommensurable comprise entre les mêmes limites.

On trouvera encore, d’après une formule précédemment démontrée, en supposant n 1,

pe dx 1.3.5...(227 —3)r se

Ha) 2.4 6...(22 —2)2

Il faut bien remarquer que la formule (1) ne subsisterait plus si la fonction F (x) devenait infinie entre les limites de l'intégration. Dans ce cas, la somme des éléments F'(x) dx peut être infinie, ou indéterminée. Il faudra donc toujours s'assurer si F (x) ne devient pas infini dans cet intervalle, et c’est seulement lorsque cette circonstancenese présentera pas, que l’on pourra dire que F(x)—#F(x) est la limite de la somme des éléments tels que F’ (x) dx. Dans le cas contraire, on partage l’intégrale en deux autres ayant pour limite commune la valeur particulière de x, et l’on examine séparément chacune d'elles.

, rh eh Si, par exemple, on cherche F rs la formule (1)

] I : . . ‘ donnera — > — =——) expression qui est négalive, tandis 3 3a °*P À PE