LEZ . ° I
que tous les éléments sont positifs. Mais — devenant in- LI G #
fini pourx — 0, il faut s'assurer si l'intégrale ne le de-
vient pas aussi. C’est ce qui arrive, en eflet, et la for-
mule (1) suppose que cette circonstance n'arrive pas. Dans le cas actuel, les deux intégrales partielles sont
infinies de mème signe; par conséquent il n’y a pas indétermination , et l'intégrale demandée est infinie.
Considérons encore l'intégrale
sont négatives , on à une somme d'éléments négatifs, qui seraient les mêmes, au signe près, que si l’on prenañ ces limites positives. Ainsi l’on aura
br
— | BARS x a
Em:
I n’y aurait de même aucune difficulté pour deux limites positives; mais si elles sont de signes différents, l’inté: grale {x passant par l'infini, la formule (1) n’est plus démontrée; et il y a cela de remarquable, que la somme des éléments est réellement indéterminée.
+ b i £ FN Neil ar | En effet, soit l'intégrale définie à —; pariageons- | LL EUR la en deux autres, dont les limites soient — à — ey pour
la première et + sy + b pour la seconde; € étant une quantité qui tend vers zéro, et , y deux nombres constants arbitraires. La première intégrale aura pour valeur
; b 1, et la seconde =: leur somme sera LE + 1 1 Elle ne « %
renfermera plus €, et, par conséquent, si l’on fait tendre cette quantité vers zéro, on aura BUS la somme des deux # n LE # b Gr intégrales , ou pour l'intégrale — la quantité indé-
LA
ne a
terminée E MR Re qui dépend du rapport STRICTES des intervalles Sato décroïssants eu, ev. Si on les sup-
? à : b pose égaux, 1Ë devient | r ou zéro, et il reste 1. C'estce F4
que M. tes appelle la valeur principale de l’ intégrale indéterminée. |
DES LIMITES DE SOMMES. 479 354. Lorsque l’on applique l'intégration par parties à la transformation des intégrales définies, et qu’on donne les mêmes limites aux intégrales, il est facile de voir, en général, comment doit être déterminée la constante. En effet, on a
JA(x) de(z)=f(r)e(x) — fox) dx).
Si lon veut que les intégrales soient prises entre les mêmes limites x, et X, on commencera par les prentire à partir de x; mais alors il est nécessaire d’ajouter une constante arbitraire à l’un des membres, ce qui donne
x Le f fix) de(x) = C+f(x)y «= [ p(x)d.f(x).
FA re Pour que cette équation aït lieu en faisant x = x, il faut que l’on ait C—— f (xs) (xs), et, par conséquent,
