AUTRES PROCÉDÉS POUR LA DÉTERMINATION D'INTÉGRALES DÉFINIES

371. On ramène quelquefois une intégrale définie simple à une intégrale définie double, parce que lindépendance des deux variables peut conduire à des simplifi-

cations. Soit par exemple [ er* dx. Elle est identique

Lo]

IN

| L] L] LL r

avec \. e? dy. Si on les multiplie, on aura le carré de

l'expression cherchée. Or on peut considérer le produit (we) He) LÉ de dr [ e7" dy, comme obtenu en multipliant O0 © O0

Va 14 2 “1 chaque élément e7* dx de la première par la seconde; et, dans cette dernière, on peut poser y == xt, x res-

A )/17 2 tant constamment le même que dans l’élément e-* dx. Rien ne sera changé par là, quoique x s’introduise dans

ee la seconde intégrale qui devient 3 xer*"t dt. Si l’on + [e)

pouvait former cette dernière expression en x, en la mul-

tipliant par e=*° dx, on aurait un élément qui, intégré entre 0 et æ , donnerait identiquement le produit des deux intégrales. Maïs dans cette intégration, par rapport à t, le facteur constant e-*" dx peut être introduit sous le signe f, et l’on voit qu’on aura à intégrer l'expression

? a? Eh Dore) dd, Oury er tt lépar,

d’abord par rapport à t, puis par rapport à x, ces deux variables étant indépendantes.

Or on sait que ces deux intégrations peuvent se faire dans un ordre inverse, sans que le résultat soit changé; et, de cette manière, l'opération pourra s'effectuer.

En effet,

. dt si re® CHE) dx — ee | et “ Li SES 0 2(14+6À) o 2(14+#) 4

Donc :

a MN 29 2 Te 2 bé À a > Ve. ou a ÉD Vr ; a 2 —

d’où, changeant x en mx,

ce Fa 2,2 Vr Las de PA Efe mt

312. Cette intégrale importante peut encore s’obtenir par le procédé suivant qui se trouve dans la Mécanique de Poisson.

co co Le produit déjà considéré d f er)" dydx res

présente le quartdu volume du solide compris entre le plan XY et la surface dont l'équation est z = e——7", qui est engendrée par la révolution de la courbe dont l équation est z — e —** autour de l’axe des z. Or, si l’on décompose ce volume au moyen de surfaces cylindriques infiniment voisines, et de révolution autour de l’axe des z, l'expression du volume compris entre les deux surfaces dont les rayons sont x, et x + dx, sera 2rxe—* dt son intégrale est — re—*, ei l’on aura le volume entier du solide, en la prenant entre les limites o et co ; €E qui donne r. Si l’on en prend le quart, puis la racine carrée,

NAEe vf p SN d PE LA etat LOL 2 46 Sal

: on aura : L co Cr | A 18 e— 2 dx — dis 1 o > et, par suite, 4 ue en ‘ Î e—2° dx — Vr- — 00

313. Le passage des quantités réelles aux quantités imaginaires , fait avec la rigueur convenable, peut encore conduire à la détermination de nouvelles intégrales. En effet, on tire de la formule précédente, en changeant x en Le,

ea : , PS à ve= | em e+a) dr = er” if. PET CT de — — D

ee) à STE ét = e #4 GE LE te eds ? \ d'où "4 2 =: rs Pa ;; e # (e2%7+e apr jdn" Vr.

pa #

Posons à — ay—1; il vient, en observant que

D eV — So cos2ax,

oO

2 — LU à e TT Ÿr = à | 4 COSAGTAX, d'où

Er nt ur, e—4 Vr | É COS 2 ax x = ——— ; (9)

ou, en changeant x en mretamen nm,

L'e) 2 Vr — nec e— mx cos 2nxAx = — e :

He om

La substitution de a Ÿ— x à « n’a pas altéré l'équation,

parce que les deux membres pouvaient être développés en séries convergentes par rapport à æ, et que, par conséquent, les coeflicients des mêmes puissances de a étaient nécessairement les mêmes de part et d'autre. Or, comme ils ne changent pas, quelque expression que l’on substitue à, l'identité a toujours lieu; et c’est pour cela qu’en

lui substituant a ÿ— x elle existe encore.

314. En partant des valeurs de deux intégrales définies que nous avons données précédemment, on peut parvenir à l'expression donnée par Wallis, du rapport de la circonférence au diamètre.

Ces deux formules sont

Les atldr À SOMRPAENTRS 0 |

Lorsque À croit indéfiniment, elles tendent toutes 16 deux vers zéro, comme on peut s’en assurer en renvétsant les fractions, qui deviennent évidemment infinies avec k ; car la première devient ainsi

(3) (3) (ie (era