ETAT

indéfiniment avec k. Il en serait de même pour la seconde. Mais le rapport de ces intégrales a pour limite l'unité.

et ce produit SUrpasse — + » qui croit.

En effet, si l’on considère deux valeurs consécutives de %, les valeurs correspondantes de l’une quelconque des deux intégrales ont un rapport qui tend indéfiniment vers l’unité, à mesure que X augmente. Or, si l’on prend l’exposant de x dans l’autre intégrale, compris entré les,

DES LIMITES DE SOMMES. 495 deux valeurs de l’exposant de la première, il est clair que la valeur de la seconde intégrale sera comprise entre les deux consécutives de la première, el que son rapport avec chacune d’elles tendra vers l’unité, comme le rapport qu’elles ont l’une avec l’autre.

On peut encore s'en assurer par la considération suivante, dont on trouve de fréquentes applications.

Lorsque k est très-grand, le numérateur est sensiblement nul, tant que x n’est pas très-voisin de l’unité, le dénominateur restant alors fini, la partie de l’intégrale prise depuis zéro jusqu à une valeur 1— x, & étant üne quantité fixe aussi petite que l'on voudra, est très-petite par rapport au reste de l'intégrale; et le rapport de ces deux parties tend vers zéro en même temps que À augmente, & restant constant (*)}. Pour comparer les deux intégrales en question, lorsque À augmente indéfiniment, il suffit donc de prendre le rapport des parties de ces intégrales relatives aux limites 1 — « et 1, puis de supposer que & diminue de plus en plus. Or le rapport des difié-

(*) On a, en effet,

TX; rA dr (1— œ)"r1: Ù E RE —— : Vi n+ I Vi — ui

13 x* dx 1— (1—a)+: l pra ie DES | pet + + ne V Vi y

# étant compris entre o et 1 — &, et y entre 1 — & et 1; d’où il résulte (

Le rapport de la seconde intégrale à la première est done plus grand que ELU

H croît donc infiniment avec n, quelque petit que soit &.

496 LIVRE III rentielles est x, et, par conséquent, le rapport des pär- | ties que nous considérons des intégrales est une moyenne entre les valeurs extrêmes de x, qui sont 1 — « et 1. Ce rapport a donc pour limite 1; et il en est de même du rapport des intégrales entières, puisqu'on n’en à né. gligé qu’une partie infiniment petite par rapport à elles=

mêmes.

On a donc ue 3.3.5.5...(24—1)(24—1)(2%i) T2, 2.254400 ere ER SU 2 ” d'où T 2.4 4 6.6.8 5

Il est facile de voir que l’on aura un résultat trop faible ou trop fort, suivant que l’on prendra un nombre impair ou un nombre pair de facteurs aux deux termes de cette fraction. |

Nous parlerons plus tard d'une méthode générale, qui consiste à ramener la détermination des intégrales dés finies à l'intégration d'équations différentielles relatives aux constantes qui se trouvent sous le signe de l’inté= gration.