Si l'équation de la surface qui termine Île corps

est donnéé en coordonnées polaires r, 0,4, il est convenable d'exprimer la différentielle du volume dans le même système. Pour cela on concevra une sphère décrite du pôle comme centre avec l’unité pour rayon; et l’on partagera sa surface par des grands cercles infiniment rapprochés dont les plans passent par l’axe AZ, et par des petits cercles dont les plans soient parallèles à XY, et à des distances infiniment petites les uns des autres. L’expression générale des quadrilatères qui composeront la surface de la sphère sera sin 0d0 dY. On concevra ensuite un cône ayant son sommet au pôle et ce quadrilatère pour base, et l’on cherchera le volume du corps, qui se trouve compris dans ce cône indéfini. La partie de ce volume comprise entre deux sphères ayant pour rayon retr+ dr, aura pour mesure r° sin 0 dr dû dy.

Si donc on intègre cette expression par rapport à r entre les deux valeurs 7, et r, relatives aux deux surfaces qui terminent le corps, on aura le volume du corps compris dans le cône que l’on a considéré. Sa valeur est

4(7— ri) sin 0 dOd 4;

ret r, sont des fonctions connues de 8 et 4. Si maintenant on intègre par rapport à 0 entre les deux valeurs relatives aux limites du corps, et qui sont des fonctions connues

de Y, on aura d L fe ) sin 040.

Le résultat de cette intégration sera une fonction de UR que l’on intégrera entre les deux valeurs relatives aux plans entre lesquels le corps est renfermé. . Si le pôle est dans l’intérieur du corps, les limites de 6 sont o et r; celles deŸ sont o et 27; et la première limite 17 34

de p est zéro. Le volume est alors exprimé par

Fr 27 SE \ ñ sin 06d0d.

à 0 or

Quadrature des surfaces courbes quelconques.

387. D’après ce que nous avons dit sur le sens qu'il fallait attacher à l’aire des surfaces courbes, si nous divisons une surface quelconque par des plans infiniment voisins, perpendiculaires, les uns à l’axe des x, les autres à l’axe des y, chacun des quadrilatères qui composeront la surface, et dont la projection sur XY sera dxdy, pourra être remplacé par la partie du plan tangent en un quelconque des points de la surface de ce quadrilatère, qui aura la mème projection dxdy.

Nous supposerons que ce plan tangent soit mené au point de la surface qui se projette en un des sommets du quadrilatère dxdy, et nous choisirons celui dont l’x este plus petit, ainsi que l°y; de sorte que céscoordonnées étant x, y, celles du sommet opposé soient x + dx, y + dy: Cela posé, l’aire d’une surface plane étant égale à sa projection orthogonale, divisée par le cosinus de l’angle de son plan avec le plan de projection, on aura, en désrgnant par s l’aire de la surface courbe,

dz\° | dz\? ————— ds — dxdy VA + () + (7) — dxdy V1 + p° + g’,

À Ta à: ; FE : é ARE (EE p , g étant les dérivées partielles de la fonction

dx? dy de x et y qui représente l’ordonnée de la surface.

Ainsi, pour obtenir la surface qui se projettera sur le plan XY dans l’intérieur d’une courbe, donnée par l'équation o(x,y) — 0, on cherchera d’abord la partie comprise entre deux plans perpendiculaires à l’axe des x, et

distants l’un de l’autre de la quantité infiniment petite dx. Pour cela on intégrera par rapport à y, en considérant x comme constant, l'expression dxdy Vi + p° + q° ; les limites de cette intégrale seront les valeurs de y does par l'équation © (x, 7) — 0. Désignons ces deux fonctions de x par y ,.y1. L’aire comprise entre les deux plans sera donc une fonction de x exprimée par

Yi az [ dy Vi+ p°' + g°.

Si maintenant on intègre cette expression par rapport à x, entre les deux valeurs relatives aux limites de la courbe (x, y) = o et qui satisferont à l'équation

dy on aura un résultat qui ne renfermera plus ni x ni y, et sera la mesure de l’aire demandée.

Si l’on veut avoir la surface entière d’un corps fini, il suffira de prendre pour l'équation y (x, y) — 0, celle de la courbe dans l’intérieur de laquelle se projette le corps, et de considérer, successivement ou en même temps, la partie inférieure et la partie supérieure de la surface. Cette courbe se déterminera, comme nous l'avons indiqué, dans la mesure des volumes.

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