X TL
EXEMPLES
Ellipsoide. — Supposons que l’ellipse dont l'équation est À ay? + b'x? = «°b!,
tourne autour de l’axe des x; elle engendrera une surface dont la différentielle sera
dx Va — (a?— D?) 2°.
Supposons d'abord a >> b et posons
a — b= ae;
l'aire, commencant à x = o , aura pour expression
2x be a? r be a? a° “ex — dx \f—=—2x =] x / —— x + —are sin — |, a % e a e° e? a
Il nefaut pas ajouter de constante, puisque l'aire est nulle pour x = 0. On aura la moitié de la surface de lellipsoïde en faisant x — a, ce qui donne, pour la surface enucre ,
ba
27 | 2 r db? + arc sine.
Si e=0, a—=6, et l’ellipsoide devient une sphère ;
522 LÊVRE ïII.
c sin e
er ar Re" comme d’ailleurs tend vers l’unité à mesure que
e tend vers zéro, on aura 47 a° pour la surface de la sphère dont le rayon est a.
Supposons , en second lieu, a << b et posons
b— a — be;
|’ . « 3 » « . ” expression de l'aire , à partir de x = o, sera
arb'e f°T a“ at Li RE rot: | = dx ER = De LS meer nes!
Si l’on fait x — «a, on aura la moitié de la surface de lellipsoïde , et la surface entière aura pour expression
LC + Va + bre?
PAS pren La ha 2 à 2
On retrouve encore la surface de la sphère, quand on suppose e — 0. En effet, la première partie devient 2T@À; pour obtenir ia seconde, on développera Va? + b'e’ en série, ce qui est Re , puisque b*e? tendant vers zéro est plus petit que a°, et l’on trouvera encore 2t4}; ce qui donnera 47 a° pour l'aire totale de la sphère.
Surface du tore. — Supposons qu’on fasse tourner autour de l’axe des x le cercle dont l'équation est
p—6}+ (re) =;
la partie supérieure engendrera une surface dont la différentielle sera
2T [ 6 + VR — (x — a) | ds.
La différentielle de l’aire engendrée par la partie inférieure sera c2r[6— VR'—(x— 4) ds.
DES LIMITES DE SOMMES. 523 © Si on les suppose comprises entre les deux mêmes plans perpendiculaires à l'axe, æ et ds seront les mêmes, et la somme des deux différentielles sera 476 ds, dont l'intégrale est ÂT6s + C. | | ; On aura la surface entière en prenant s égal à la demicirconférence TR, et C — 0 ; ce qui donnera
4r°6R, où 2rR21r6.
La surface du solide entier est donc égale au produit de la circonférence génératrice par la circonférence décrite par son centre.
On peut calculer séparément la surface engendrée par la partie supérieure, et par la partie inférieure de la circonférence. En effet, la première est
ar [65 + fdsVR' —(x— ay] —27r(65+/fR dx) = 2r{(6s+Rzx + C}.
Pour avoir la partie supérieure tout entière, il faut pren dre pour x les limites «—R,«+R, et donner à s la valeur TR ; ce qui donne
27°6R + 4rR°.
Dans le calcul de la partie inférieure, il n’y aura que
le second terme à changer de signe, et l’on trouvera 27°6R — Ar R°.
Leur somme est 47°6R, comme nous l’avions déjà trouvé.
Leur différence est 87 R°, ou le double de la surface de la
sphère dont le rayon est R.
IL est remarquable que cette différence soit indépendante de la distance du cercle à l’axe de rotation; et cela üent à la symétrie de la courbe par rapport à une parallèle à l’axe. Dans le cas général où cette condition sera rem- plie, la différence des surfaces engendrées par les deux parties de la courbe sera encore indépendante de la distance à l’axe de rotation.
Volume des corps terminés par des surfaces quelconques.
384. Si l’on partage un corps en éléments infiniment petits par des plans perpendiculaires à l’un des axes des coordonnées rectangulaires, nous avons vu qu’on pourra substituer à ces éléments, des cylindres ayant pour bases les sections faites par ces plans, et pour hauteurs les dis: tances de ces mêmes plans; parce que la limite du rapport de ces cylindres aux éléments du corps est l'unité.
Donc, si l’on peut obtenir en fonction de x l’expression de l’aire de la section faite dans le corps par un plan quelconque perpendiculaire à l’axe des x, la différentelle du volume sera F (x) dx , en désignant par F (x) l'aire de la section ; et le volume du corps compris entre deux plans perpendiculaires à l’axe des x, et corres: pondants aux abscisses æ,, +, aura pour expression
Ÿ F (x) dx. Le problème sera done ramené à l’intégra: To
tion d’une fonction connue d’une seule variable. Si lon ne peut exprimer immédiatement l'aire de la section , ‘on en obtiendra la valeur au moyen d’une première intégra: on. Représentons par z et z' les ordonnées de la partie supérieure et de la partie inférieure de la surface. Cesont des fonctions données de æ et y, qui pourront ètre de ma: ture différente. L'aire de la section correspondante à "une valeur quelconque de + aura pour expression f(z—z/)dy, + variant seul et x restant constant dans les fonctions et z'. Les limites de cette intégrale seront les valeurs dé y correspondantes aux points extrêmes de la section; ces poinis seront , en général , ceux où la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des z; et si l’on considère l’ensemble de toutes les sections, ces points se projettent sur le
plan XY suivant la trace du cylindre circonserit au corps, et ayant ses'arêtes parallèles à l’axe des z. Ces valeurs de y qui sont les limites de cette première intégrale sont donc des fonctions connues de x, et, par conséquent, JS (2 — 2!) dy sera une fonction de +, que nous supposerons que l’on puisse former, et que nous représenterons par EF (x). La question est alors ramenée au premier cas, et ilsuflira de calculer f F (x) dx, entre les deux limites données pour æ. Ces deux intégrations successives s’expriment de la manière suivante :
x mn 121 (z— z')dy; T, 0
y et.y désignent les deux fonctions de æ qui expriment les ordonnées de la trace sur XY, du cylindre circonserit au solide, et ayant ses arêtes parallèles à l’axe des z.
Ce calcul n’exige donc que deux intégrations de fonctions d'une seule variable.
On peut remarquer que ce procédé revient à calculer la somme des expressions de la forme (z — z’)dy dx, quand On donne à x et y toutes les valeurs comprises dans la projection du solide sur XY et variant par intervalles infiniment petits dx, dy. Cette expression est la mesure du parallélipipède ayant pour base dxdy et pour hauteur z — z'; et ce volume peut être substitué à l'élément du solide qui est compris entre les quatre faces latérales de ce parallélipipède, parce que la limite de leur rapport est l'unité. La somme de ces éléments compris entre les deux plans dont la distance est dx, sera exprimée par
LAS € de [. (z— z')dy, L,
et la somme de ces dernières expressions, relatives à toutes les valeurs de dx, sera la somme de tous les éléments
(z — 21) dxdy du solide.
383. Déterminons maintenant l'équation de la trace d cylindre circonscrit au corps et parallèle à l’axe des z.
Soit F(x,y, z)— 0 l'équation de la surface du corps; le plan tangent au point (x, y’, z') aura pour équation
dF dF dF ASIE te PART MTS VIRE CEVVISIN LU 0 Ga) E+ttv-r) ter)
En un point quelconque de la courbe de contact du cylindre et de la surface donnée, le plan tangent est parallèle à
; dE ; ; l'axe des z, et, par conséquent, =, = 0; les équations de
cette courbe seront donc F(r,:7,t2)= 08 = 0 Si on élimine z entre ces équations, On aura sa projection sur XY, qui est la courbe demandée. Supposons que son équation soit ® Lai; les valeurs de y qu’on en tirera seront les limites del’intégrale prise par rapportà y. Quant aux limites x, x, ce sont deux valeurs arbitraires. Si l’on veut avoir le volume entier du corps;sces limites correspondront aux points extrêmes de la trace du cylindre, et s’obtiendront en cherchant les points.de cette courbe où la tangente est parallèle à l’axe des you encore les points de la surface où le plan tangent est pet pendiculaire à l'axe des x; ils seront déterminés par les
trois équations
F(zx, y, z)—0, EN NU En
Si l’on avait pour objet de trouver le volume du corps, qui se trouve renfermé dans l'intérieur du cylindre ; ayant-ses arêtes parallèles à l’axe des z et une base donnée par son équation sur le plan XY, les limites de l'in-| tégration par rapport à y seraient les fonctions de x que
F DES LIMITES DE SOMMES. 527 l'on trouverait en résolvant cette équation par rapport à vi | EXEMPLE.
Ellipsoïde. — L'équation de l’ellipsoïde rapporté à ses
axes est
La section par un plan perpendiculaire à l’axe des x
est une ellipse ayant pour équation
LS 2? ut x?
Ba : a?
æ désignant la distance de ce plan à l’origine, constante pour une même section, et variable d’une section à une autre. On peut calculer l’aire de la section au moyen de la formule que nous avons donnée pour la quadrature de l’ellipse.
Les demi-axes étant, dans ce cas,
I——+ cc 1— —) a? a?
l’aire de la section sera
ce sera la valeur de l'intégrale
[ (2) dy.
Reste donc à intégrer
x 2 r bc [ (1-5) dx, vT a
ce qui donne
Si l'on fait x, — — a, x = à, on aura le volume entier de l’ellipsoïde, et son expression sera £ rabc. | On voit que le volume de l'ellipsoïde est les deux tiers du cylindre droit circonscrit, ayant ses arêtes parallèles à l'un quelconque des axes.
Si les axes ne sont pas rectangulaires , les caleulsne
différeront que par des facteurs constants. Soient À l’angle de l'axe des z avec l'axe des y, et p l'angle de l'axe
des x avec le plan YZ. La secüon faite par un plan parallèle à YZaura pour expression
Lea 7 J (z—z')dy sn}, To
et le volume compris entre ce plan et le plan infiniment voisin sera
N sin ede | (z— 7!) dy sin.
To
Le volume cherché sera donc exprimé par
ê cn æ 4 sin y sin à fl ae [. (z— 2!) dy.
x, Vo
Dans le cas de l’ellipsoïde rapporté à des diamètres con: jugués 2 a/, 2b", 2c', on trouvera £ra/b'c! sin pu sin.
Cette expression devant être égale à +r abc, il en résulte & b'c! sin x sin À — abc, ce qui montre que /e pa: rallélipipède construit sur les diamètres conjugués est constant. On voit encore que le volume de l’ellipsoïdeest les deux tiers de celui du cylindre circonserit, ayant ses arêtes parallèles à un diamètre quelconque, et ses bases parallèles au plan conjugué de ce diamètre. Ce qui prouve que tous les cylindres circonscrits de cette manière à l'el-
lipsoïde sont équivalents.
