CHAPITRE XIV
EXEMPLES DE LA DÉTERMINATION DES COURBES D'APRÈS UNE PROPRIÉTÉ DE LEURS TANGENTES.
389. Premier ExEmPLE. — 7rouver la courbe dont la sous-tangente est constante.
D'après l'expression générale de la sous-tangente, on aura, en désignant par a sa valeur constante, par x et y les coordonnées du point de contact, et par dy la différentielle de la fonction qui représente l’ordonnée de la courbe,
dx 7 dy Fr A3 séparant les variables, il vient | Fo fs a # et d’après la règle du n° 367, == l.y + C— GS ,
d’où
équation de Îa logarithmique.
Deuxième exEemPLE. — 7rouver la courbe dont la sous. normale est constante.
Désignant par a-cette valeur constante, on aura
rdy dx
Ds A]
d’où ydy = adx,. y = ar,
parabole qui a pour axe la ligne des abscisses, 24 pour paramètre, et son sommet en un point quelconque de l’axe des x.
TROISIÈME EXEMPLE. — 77'ouver la courbe dont La normale a une longueur constante a.
On aura dans ce cas l’équation d’où
Les-variables étant séparées, on aura, par la règle connue,
x —=+Va —P+C, (z—C} +7 = ua", cercle dont le rayon est a, et qui a son centre en un point
quelconque de l’axe des x.
QUATRIÈME EXEMPLE. — rouver la courbe dont la tangente a une longueur constante a.
L’équation sera dans ce cas
dx 4 er
dx? a? — y?
di
d’où
, dr ="#t D es — ÿ?.
La
Le second membre est une des différentielles binômes dont nous avons calculé l'intégrale, et en prenant le signe in=
férieur nous en déduirons l'équation suivante,
D Verre te ;
cette courbe est celle qu'on nomme la tractrice.
Cinquième exemPLe. — 7rouver la courbe telle que le carré de l'arc soit proportionnel à l’ordonnée.
Il est évident que l’arc et l’ordonnée doivent être nuls ensemble, et que par conséquent l'axe des x doit passer par le point de la courbe qui est l’origine des arcs.
En désignant par s la longueur de l’are, la condition donnée conduit à l'équation
LE 44 NH uarr où se ap2; pour éliminer s, différentions les deux membres, il vient lu sde Rs Les ds Le: 2? dy = V dx? + dy’,
et, par suite,
Cette relation est identique à celle que donnerait une CYj . : "4 La | L e «a cloïde dont le cercle générateur aurait pour diamètre -;
et dont la tangente au sommet serait l’axe des x.
On retrouverait, au reste, l'équation finie de la eycloïde en intégrant les deux membres de l’équation précédente.
SIXIÈME EXEMPLE. — rouver l'équation d’une courbe
dont toutes les normales soient tangentes à une courbe donnée.
Le
La courbe à laquelle les normales d’une courbe quel: conque sont tangentes étant la développée de cette dernière, on voit que le problème consiste à trouver la développante de la courbe donnée.
Soient x’, y’ les coordonnées d’un point quelconque de la courbe donnée, dx’, dy’ leurs différentielles, «, 6 les coordonnées du point correspondant de la courbe donnée dont l'équation est (x) Fa; 6)=10:
La normale aura pour équation !
(ee) CR SRE 0; puisqu'elle passe au point (x, 6) on aura dy'
a— zx + (6 — ÿ') D À Lu à O,
et comme elle est tangente à la courbe (1), 1l s'ensuit
24 ONE da ess NT PT N
ce qui change l'équation précédente en celle-ci
dax
(3) a — x —( y) Te Entre les équations (1), (2), (3), si on élimine «, f après , , da avoir remplacé Te par sa valeur en «, 6 que donnera la
différentiation de l'équation (1), on aura une équation F4
d LEA , entre x’, y’ et . appartenant à la développante. Ce cal
cul est le même que celui auquel nous avions été conduits dans la théorie des développées. Nous allons l’effectuer dans le cas particulier du cercle.
Développante du cercle. — L'équation (r} devient;
dans ce cas, «+ 61 41,
d'où
| 2 de RARE
ada+ 646 = 0, NE
l'équation (3) devient, en supprimant les accents, ax + 6Y = 4a?,
et l'équation (2) sera
l'élimination de x et 6 conduit à l'équation suivante . (4) (ædx + ydy} = a? (dx? + dy’).
Soient B (fig. 99) le point du cercle à partir duquel on fait le développement, M un point quelconque de la développante et T le point correspondant du cercle, on aura
TM = arc BT ; si l’on désigne l'arc BM par s et AM par r, on aura = 2'+ y, rdr—=xdr + ydy, dx’ dy’ = ds; l'équation (4) devient alors
rdr — ads.
Les variables r'et s étant séparées, si l’on intègre les deux membres, après les avoir doublés, on obtient
r— 2 as + C.
La constante C se déterminera par la condition que pour $ — 0 On ait r — a; ce qui donne C = &°?, et, par suite, Fr —=2as + a.
Cette propriéié remarquable en Hi connaître une
autre, en observant que 7° = + TM = AT ES BT; en effet, on déduit de là, entre les arcs BT et BM ou s, la re-
lation très-simple A
BT : = 204
L’équation (4) peut être transformée en coordonnées po= laires. En désignant l’angle MAX par 0, on aura
r? dr = a! (dr + r°d@?),
d’où
dr d0 = — Vr° — a! :
‘ ar V en intégrant les deux membres, on obtient lp à, QE a Vr — a! + arc sin — "+ C, 7e
et comme on doit avoir en même temps.
il en résultera
et l'équation de la développante deviendra
(5) 0 = = VA — a — arc cos
C’est ce qu’on déduirait immédiatement de la figure, en observant qu'on a0 — TAX — TAM, ce qui n’est autre chose que l’équation (5).
L’équation précédente ax + 6y — a? nous redonne= rait, comme nous l’avons vu dans la théorie des dévelop” pées, l'équation de la développante en coordonnées recs tangles. Mais on peut la déduire de l’équation (5) que Pon mettra d’abord sous la forme
arc cos — =
TN D 7 «a
a I © TL y == os8 cos — Vr°— a* + sin 0 sin — Vr*— a;
€ | remplaçant cosô par s> sin 0 par = et r° par x° + y”,.on
obtient enfin l’équation déjà trouvée de la développante du cercle
D — . 1 æ COS — x? + y? — a? + y sin — x? + y? — a nt, a a
que l’on obtiendrait directement en projetant l’abscisse et l’ordonnée du point M sur le rayon AT.
On appelle série une suite de termes positifs ou néga= tifs, dont le nombre est infini.
On dit qu’une série est convergente, lorsque la somme algébrique des premiers termes tend vers une limite dé-
terminée, à mesure que z augmente indéfiniment. Elle €: est.
divergente dans le cas contraire.
