Le développement en séries peut être très-utile pour

la détermination approchée des grandeurs, soit con.

stantes, soit variables. Maïs on ne peut évidemment, dans des calculs soit numériques, soit algébriques, rene placer une quantité quelconque par une série, que lors* que celle-ci a pour limite cette quantité même. Il est donc nécessaire de connaître quelques caractères d’après

lesquels on puisse juger si une série donnée est ou n'est.

pas convergente, Nous allons exposer les règles les plus simples qui ont été données à cet effet, et dont quelquesunes sont tirées du Cours d’ Analyse de M. Cauchy. Nous remarquerons d’abord que la somme des termiés d’une série ne peut tendre vers une limite déterminéesssi la grandeur des termes ne tend pas vers zéro. Celaest tout à fait évident, lorsque les termes sont tous de même signe, parce qu’alors leur somme croiîtrait indéfiniment avec leur nombre. Mais, lors même qu'ils seraientde signes différents, les sommes successives ne pourraient

avoir une diflérence moindre que toute quantité donnée

avec une grandeur déterminée, puisque deux sommes

; RÈGLES SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES. 54 | consécutives auraient toujours entre elles une différence | finie, qui serait le terme auquel s'arrête la dernière.

Ïl est donc indispensable, pour qu'une série soit convergente, que ses termes aient pour limite zéro; mais celan’est pas suflisant, comme nous aurons occasion de le reconnaitre. Il faut toujours s'assurer qu'après avoir dépassé un assez grand nombre de termes, à partir du commendement, et s'arrêtant à un terme quelconque au delà, la somme des suivants, quelque nombre que l’on en prenne, est au-dessous d’une quantité, qui peut être supposée aussi petite que l’on voudra.

Il est encore bon de remarquer que si une série est convergente quand on prend tous ses termes avec le même signe, elle le sera encore quand on multipliera tous ses termes par un même nombre quelconque, ou même par des nombres différents, positifs ou négatifs, pourvu qu'ils restent finis. En effet, puisque la somme arithmétique des termes de la première série, qui sontlau delà d’un certain rang, peut être supposée moindre que toute grandeur donnée, il en sera de même dans la seconde; car la somme de ses termes au delà du même rang, lors même qu'on les prendrait tous avec le même signe, sera moindre que la somme des correspondants dela première , multipliée par le plus grand des facteurs introduits, qui est supposé fini.