En 0 la règle précédente à à la série

k | ROSE PRE Ur RU on trouve Uni 1 HTVA et, par conséquent, Un+1

la série est donc convergente. Sa limite est fracuion-

naire et comprise entre 2 et 3; Car la suite des termes

- = 3 +... est inférieure à celle de la progression qui

D nceraii par les deux premiers termes, et la limite

de cette dernière est moindre que l'unité. Pour avoir

une limite de l'erreur commise en’‘s’arrêtant au terme

8 THE on remarquera que le rapport —"* * allant tou-

jours en diminuant, les termes suivants sont au-dessous de .

ceux de la progression géométrique dont les deux premiers * à ‘ : ss I

termes seraient ceux qui suivent immédiatement ———— 5

, 1 (PT c’est-à-dire

ef UT EI RQ n vyvr

°1.2...(7 +1) 1.2...(r +i)(2+2) Donc la somme des termes qu’on néglige dans la proposée est inférieure à la limite de la somme des termes de cette progression , qui est

FH + 2 1.92:..A2(r +1)

C’est donc là une limite de l'erreur commise en s’arrétant à :

546 NOTE 1. On pourrait prendre, à plus forte raison, comme li= mite , l'expression plus simple

dont la valeur est plus grande que la première. N

Cette série est d’un grand usage dans l’analyse, et lon désigne ordinairement sa limite par la lettre e.

Il est facile de démontrer que sa valeur est incommensurable.

En effet, supposons qu'elle soit commensurable; comme elle n’est pas entière, elle sera représentée par une expres=

sion fractionnaire irréductible ?, q étant >> 1; on aurait

ainsi l'égalité

En multipliant les deux membres par 1.2.3...q, on aurait

+ 7 g+Hi. (gg #i)(g #02)

Or la limite de la somme des termes fractionnaires du second membre est plus petite que l’unité, puisque ces termes sont inférieurs à ceux de la progression géométrique

dont la limite est; et, par conséquent, plus petite que q

l'unité. Done la limite du second membre de la dernière équation ne serait pas égale au premier; ce qui estab= surde. Il résulte de là que la limite de la série proposée ne pouvait être égalée à un nombre commensurable. Cette:

limite est done incommensurable, comme nous voulions le démontrer.

8. La quantité que nous avons désignée par e peut être considérée comme la limite d’une autre expression remarquable que nous allons faire connaître.

Désignons par m un nombre entier positif croissant indéfiniment , et considérons l'expression

Le 1+— m

qui se présente sous la forme indéterminée 1, quand on y fait 7 infini. Pour déterminer la limite vers laquelle elle tend, quand 77 croît indéfiniment, développons-la suivant la formule ordinaire du binôme; nous aurons

à Le m 1 m(m—i)i1 M m ï

m 1.2 m° mim—1)...(m—n+\) 1 I 2 a RS AS A

Lou rer m" m

Tous les termes du second membre sont positifs, et leur nombre est fini et égal à » + 1. On peut mettre cette équation sous la forme