I I (2) TH + — + RE I 1.2 1,243 A TT

. . \ PE d I 7 dont la limite est e. D'où l’on conclut déjà que {| 1 + — J q ; mt

est toujours moindre que e; mais nous allons démontrer qu'il s’en approche indéfiniment. En eflet, le terme qui en a # avant lui dans le déve-

AECY EC I à loppement (1) tend indéfiniment vers == à mesure st. dc

que m croit. Donc la somme des » + 1 premiers termes de ce développement peut différer aussi peu qu’on voudra de la somme s, des correspondants de la série (2), quelque grand que soit le nombre déterminé #2. Mais la différence entre s, et « peut devenir moindre que toute quantité donnée; donc il en est de mème de celle qui existe entre e et la somme des 7 + 1 premiers termes du développement (1),et, à plus forte raison, de la différence qui existe entre e et le développement (1) tout entier, ou:

% FE + + Donc enfin (: +) tend vers la limite «e rt ” Fr

m, lorsque m croît indéfiniment, en restant toujours entier. Considérons maintenant des valeurs positives, non enüères pour m. Faisons m = u + €, € étant une quantité > 0 * Q lé » , positive moindre que lunité, et x un nombre entier. L'ex- 9 / } mt 3 Ï pression | 1+ —}) devient | 1+ — ; m pHeE dra plus grande si lon diminue le dénominateur » Het

qu'on augmente l’exposant 7 +e; et on la rendra plus

\ L+E | : or on la ren-

petite en augmentant le dénominateur ei diminuant lex= posant. L'expression proposée sera donc comprise entre

les deux suivantes :

Fur 1 : pe I \ 12 I — | 5 I TER D , ë ; mec)

que l'on peut mettre respectivement sous la forme

Or il est évident qu'elles tendent l’une et l’autre vers la limite e, puisque u est entier, et que d’ailleurs le facteur

1 La 1 +-et le diviseur 1 +

js Wet sure que z augmente, Donc enfin la quantité intermé-.

tendent vers l'unité à me-

Fr: Pi re diaire h++) tend vers e, de quelque manière que

varie la quantité positive, indéfiniment croissante, désignée par 71.

è I ; x < Si l’on pose — — 4%, On énoncera le même résultat de

cette autre manière :

L'expression (1+«)" tend vers la limite e lorsque x est une quantité positive qui tend vers zéro, suivant une loi quelconque.

| + o , I Le L Il reste à considérer le cas de —; ou de #, négatif et ten- | m dant vers zéro. On posera , dans ce cas, 1 + à = —; ; 2 1 +6 6 sera une quantité positive tendant vers zéro. On tirera de cette relation |

et, par suite, i 1+-6 F

[ ee...

— a Smet :

T où Si Ée À Î ù = d

Or 6 étant positif, (1 +- 6) iend vers e, lorsque 6 tend vers zéro; de plus, 1 + 6 tend vers l’unité; donc (1 + a)” tend encore vers e, lorsque « est négatif.

Ainsi, de quelque manière que la quantité «x tende Le

vers zéro, l'expression (1+ «)* tend vers la limite e.

: TA AS AL F æ \"