QuaTRiÈME THÉORÈME. — La série ++. un

est convergente, lorsque, n croissant indéfiniment ,

a une limite plus grande que l'unité. Elle est diver-

a gente si cette limite est plus petite que l'unité.

En effet, soit 2 cette limite, et supposons d’abord h > 1. On aura donc, depuis une certaine valeur de » jusqu'à l'infini, « désignant un nombre compris entre

1eth,

Dray) (ONU HeT 2e TL

Les termes de la série proposée, à parür de #,, sont donc inférieurs à ceux de la suivante :

Or celle-ci est convergente d’après le théorème précédent, puisque l’on a « ©>1; donc aussi la proposée est convergente.

Supposons en second lieu À 1, et soit « un nombre compris entre 1 et Z. On finira par avoir, au delà d'une certaine valeur de », à

Lis U

a, Où uw >> —+

lz

Les termes de la série proposée seront donc alors audessus de ceux de la suivante :

Mais cette dernière est divergente, puisque Pon a à &\: donc la proposée l’est aussi. Ce qu'il fallait démontrer.