Deuxième THéoRÈME. — Une série dont le terme

général est u, est convergente lorsque u” tend vers une limite k plus petite que l’unité, quand n augmente indé- Jiniment. Elle est divergente lorsque la limite k est plus grande que l'unité.

Supposons d’abord k 1, et soit « un nombre quel-

conque compris entre À et 13 d’après l'hypothèse, w,

finira par être constamment moindre que à, depuis une

certaine valeur de nr jusqu’à linfini. On aura alors les inégalités suivantes : |

n N+-I urr3 :

ue L &; u CC Le p:at

n+I Hi

d'où | Un ee a”, Uni “. ares Uno a: ns . e .

Donc, à partir d'une valeur convenable de 7, tous les termes de la série sont au-dessous de ceux de Le PrOEtE sion géométrique décroissante

a he QUIL FI LR, » 3

donc la série proposée a une limite; et l’on aura une quantité plus grande que l’erreur commise en s’arrêtant à u,,, en prenant la limite de cette progression géomé-=

Ua n

trique, qui est he F0

Supposons maintenant À ©>1, et soit encore « un

nombre quelconque compris entre # et 1; on finira par

avoir u° >> æ, au delà d’une certaine valeur de #1, et l’on aura alors les inégalités

Un D © ul Unyi > & CRE VE ot .

d'où il suit qu'à partir de w,, les térmes de la série sont

au-dessus de ceux de la progression, géométrique crois®

sante 7 an QUI QE,

Îls croissent donc eux-mêmes indéfiniment, et la série proposée est divergente.

Enfin, si l’on avait À — 1, on ne pourrait affirmer, en général, si la série est convergente ou divergente.

A1. Mnorsième THÉORÈME. — 5 les termes d'une série (1) ; Wu +l+. + up +...

vont constumment en décroissant à partir du premier, : cé série sera convergente ou divergente en méine temps que la suivante :

(ARE Uo + 2 + Aus + Bu + 16u: +....

En effet, supposons d’abord la première série convergente. Ses termes allant constamment en décroissant, on aura les relations suivantes :

y = Us,

Aus <LQU + 2u;,

OUT QU, + QUs + DU + QU, PNEU RE SHDORPECE + aus,

Ajoutant membre à membre ces égalités et inégalités en nombre infini, on voit que la somme des premiers membres, qui sont les termes de la série (2), sera au-dessous de la somme de ceux de la suivante, terminés au même indice de u,

HU + 2Ui+ QU + DU + IU +...,

Or cette série n'est autre chose que la série (1) dont on aurait doublé les termes, excepté le premier. Elle a donc une limite, et, par conséquent, la série (2) en a une à plus forte raison, Ainsi, d’abord la convergence de la première série entraine celle de la seconde. Supposons, en second lieu, la série (1) divérgente, ses termes allant toujours en décroissant; on aura évidemment les rela-

tions suivantes :

HS QU DU + W, Eu Du + + us HW, Bu, Du; + us.....—+ Us.

Ajoutant les premiers membres entre eux, ainsi que les seconds, on reconnaît que la somme des termes de la série (2) est plus grande que la somme de ceux de la série (1), terminés à celui d'indice double; et comme cette dernière croît indéfiniment par hypothèse, il en est de même de l’autre. D’où il suit encore, comme on voulait le démontrer, que la divergence de la série (1) entraîne celle de la série (2). Donc, enfin, les deux séries propoz sées sont toujours en même temps convergentes ou divergentes.

12. Prenons par exemple, pour la série (1), la suis vante : |

I L (3) Du re in ban ne

la série (2) deviendra 1H OT AITA E S'TE E...

Or cette dernière est une progression géométrique dont la raison est 2°”. Elle est décroissante si l’on a y >#, et croissante six <T 1 ou m—1. Donc aussi la série (3) est convergentesip > 1, et divergente si a <71, ou p =" La conséquence relative à w — 1 montre que la série

I 1 I ir ehie te ADI

est infinie, comme nous l’avions déjà reconnu.