Remarquons d’abord que si l'on a une série con- | d

vergente U+u+.: + Un + Uni Hess

et qu'une autre série +0 +... Va EE nt +...

. . | LI e 3x ,. à L soit telle, que, depuis un certain terme jusqu à l'infini ,

on ait

cette seconde série sera convergente; car, si l'on multi-

. L2 (4 Ld . 4 plie la première par —, n ayant une valeur déterminée : Un

telle, que la condition supposée soit remplie, la série ainsi obtenue sera encore convergente. Or tous les termes de la seconde, depuis #,, se trouveront inférieurs aux termes correspondants de cette dernière; done la seconde série

sera elle-même convergente.

. Cela posé, considérons une série

++... + Un + Unxi Fe:

telle, que l’on ait li Un+ im. EU Un.

+ étant touiours plus etit que l'unité, depuis 2. À pus P q > dEP

une certaine valeur de 7 jusqu à l'infini. On pourra mettre

ce rapport sous la forme

le rapport

Ut à

U» I ss x

a étant positif et tendant vers zéro.

Or nous allons démontrer que si l’on a lim. ra 1,

la série sera convergente; et qu'elle sera divergentes:

l’on a | |

lim. za << 1.

1°, Soit | Him, rx = AV EPA

Désignons par m une quantité déterminée quelconque, comprise entre 1 et À, et, par conséquent, plus grande que l’unité. Ilest facile de voir que, depuis une certaine valeur de 7 jusqu’à l'infini, on aura

En eflet,

is m m(m—i1) LES + + +; ele n 1.27.

et pour que l'inégalité précédente ait lieu, il suffira que l’on ait m m(m—i) > — QUE LAURE 2% ñ 1-2.