RD M

Or le second membre tend vers m et le premier vers #; à mesure que 7 augmente : donc, depuis une valeur déterminée de n jusqu à l'infini , l’inégalité aura lieu, puisque la limite de son premier membre est plus grande quelalimite du second ; donc depuis cette valeur de » jusqu'à

l'infini, on aura Ï m 1+ a > (: +2) ,

el, par suite,

I I PAL (+ ) \ 72 ou Et I

Maïs si l’on considère la série

I + ( } 17 om 3m MT RE à)"

le rapport du terme général au précédent sera

FREE 2 j' m

A ds ñ

et, par conséquent , plus grand que dans la série proposée. De plus, la série (1) est convergente, puisque l’on a m >> 1: donc aussi la série proposée est convergente ; ce que nous nous proposions de démontrer.

2°, Soit maintenant

lim.ra—k et Ar.

Prenons une quantité quelconque m comprise entre 1 et À, et, par suite, plus petite que l'unité; je dis que l’on

finira par avoir constamment à m 1+ a y (: Li Ds :) »

$ 7 ou m m(m—\1) ee A na 1.2.7

- OU encore ” mm —\) nu << m + se PERTE Mn # ED. 72

En ellet, lorsque » croit indéfiniment, le premier membre tend vers k, et le second vers m, qui est plus grand que #. Donc, depuis une certaine valeur de » jusqu’à

l'infini, les inégalités précédentes auront lieu; d'où i] résultera

1+ — ue

: u et, par conséquent,

finit par être constamment su- P C

périeur au rapport des termes correspondants de la série » , I . , e | dont le terme général est Tn- Mais m étant plus petit que

l'unité, cette dernière série est infinie ; donc la proposée l'est aussi.

Donc enfin, comme nous l’avions annoncé, la séric

proposée sera convergente si l'on a lim. 2œ > 1, et divérgente si l’on a lim. na <1.

16. On ne peut, en général, prononcer sur la nature de la série, lorsque l’on a

lim. 2a— 1.

Néanmoins, si 24 est toujours plus petit que la limite”, on peut affirmer que la série est divergente; car alors on1

Sat

Uni , . A 1:

et le rapport —— est supérieur au rapport relati 73 1

à la série divergente

PRDAER CU ñ in I Ta EE nt. Re CE) Fi» 3 n n «4 :

d'où il résulte que la série proposée est infinie. :

Le seul cas qui reste douteux est donc celui où l’on a

DDR TS TS

na n'étant pas constamment plus petit que 1.