CHAPITRE V
20. Pyramides triangulaires. — Nous avons dit précédemment qu'Euclide avait démontré qu'une pyramide triangulaire était limite d’une somme de prismes; nous allons faire connaître le mode de décomposition qu’il emploie, et qui conduit à une série.
Soit la pyramide SABC (Jrg. 1) ; désignons sa base par b et sa hauteur par L. En joignantles milieux des arêtes, on forme deux prismes triangulaires équivalents DEFAHG, HEICEG , et deux pyramides triangulaires EHBLI, SDEF, égales entre elles, semblables à la première et ayant leurs arêtes deux fois moindres que les siennes. [’un des deux prismes a pour base le quart de ABC ou de b, et pour hauteur la moitié de 2. Il est plus grand que l’une des deux pyramides; car en joignant DH, DG, la pyramide DAHG serait égale à l’une d’elles et serait renfermée dans le prisme; d’où il suit que la somme des deux prismes, étant plus grande que les deux pyramides restantes, est supérieure à la moitié de la pyramide proposée. En décomposant les deux pyramides de la même manière que la première, les prismes que l’on formera seront supérieurs à la moitié de ces pyramides, et il restera un nombre double de pyramides ayant leurs arêtes moitié moindres.
En continuant ainsi indéfiniment, on obtient une somme de prismes en nombre indéfiniment croissant et
dont la somme peut différer aussi peu qu'on le voudra du
volume de la pyramide. En eflet, après avoir enlevé les
prismes de premier ordre, il reste moins de la moitié de
la pyramide; après avoir enlevé de ce reste les prismes
de second ordre, le reste est moindre que la moitié du
premier et, par conséquent, que le quart de la pyramide.
Le troisième reste, moindre que la moitié du second, sera moindre que le huitième de la pyramide , et ainsi de
suite. Donc on peut arriver à un reste moindre que tout vo-
lume désigné, puisque, en partageantnne quantité fixe en
un nombre de parties qu'on double indéfiniment, on peut
arriver à des parties moindres que toute grandeur don-
née. La pyramide est donc la limite de la somme des
prismes d'ordres successifs, obtenus comme nous l’avons
indiqué. C'est ainsi qu'Euclide a démontré cette proposition, et on en conclut, comme nous l'avons vu précédem-
ment , que deux pyramides triangulaires de base équiva-
lente et de même hauteur sont équivalentes.
21. Mais nous allons en faire un autre usage et en déduire immédiatement le volume même de la pyramide. Nous remarquerons pour cela que la somme des prismes
: bh l de premier ordre a pour mesure va puisque chacun des
bh A « deux à pour mesure —- Or les prismes d’un ordre quel-
conque sont en nombre double de ceux de l’ordre précédent ; mais leurs dimensions étant moitié moindres, leurs volumes seraient huit fois moindres; leur somme sera donc le quart de la précédente.
Les termes de la série dont la limite est le volume de la pyramide seront donc
bh oh bh (A 4° TANT?
et si l’on désigne par V, le volume de la somme des prismes jusqu'à un ordre quelconque #, on aura
I I ii vis ph (ete DEN GPRIES E LT AL LE Les limites des deux nombres devant être égales, et la
première étant le volume de Ja pyramide, ce dernier sera égal au produit de Dh par la limite de la somme des termes
de la progression géométrique
