I L' I 4 — Æ + Æ + L] LE] L

Cette série est la première qui ait été sommée, et elle l’a été par Archimède à l’occasion de l'aire de la para-

bole. Sa limite est 3 d’où il suit que la mesure du volume

: bh de la pyramide est 3"

29. Aire du'segment parabolique.— Cherchons maintenant l’aire d’un segment parabolique quelconque ASB.

Soit SC (fig. 2) le diamètre des cordes parallèles à AB; C sera le milieu de AB, et la tangente en S sera parallèle à AB. Le triangle ASB, moitié du parallélogramme ABA'B' dont les côtés AA’, BB' sont parallèles à SC, et qui, par conséquent, renferme le segment ASB, sera plus grand que la moitié de ce segment.

Faisons pour les deux segments dont les bases sont SA, SB, ce que nous venons de faire pour le premier; les triangles SDB, AD'S seront supérieurs aux moitiés de ces segments. Agissons de même pour les quatre segments restants dont les bases sont BD, DS, SD’, DA, et continuons ainsi indéfiniment. Il est facile de voir que le premier triangle ASB, plus les deux triangles de second

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 31 ordre, plus lés quatre de troisième ordre, plus les huit de quatrième, etc. , forment une somme dont la limite est le segment ASB. Car on prend d’abord plus de sa moitié, ensuite plus de la moitié du premier reste, plus de la moitié du second, et ainsi de suite indéfiniment. D'où l'on conclut, par les mêmes raisons que dans l'exemple précédent, que le segment est t la limite de la somme des triangles.

Cette démonstration est due à Archimède; il a prouvé ensuite que la somme des triangles d’un ordre quelconque est le quart de la somme de ceux de l’ordre précédent. Soit, par exemple, le segment ASB; menons DI, EH parallèles à BC, E étant le milieu de SB. On aura

Br EHE= 2 DL;

d’où résulte, d’ après la propriété des ordonnées de la

parabole, rs RE ; SG; et,.par suite, . IK — 7 CP À d'où.

DK — - CB,

Mais les triangles SCB, SDB, ayant même base SB, sont comme leurs hauteurs, ou comme les parallèles CB, DK; donc

" SDB — : CSB.

De même on aura I 4 SD’A — Z SAC.

Douc les deux triangles auxquels donne naissance un triangle ASB, d’un ordre précédent, forment une somme égale au quart de celui-ci; car ce que nous venons de dire de ASB peut se dire d'un triangle d’un ordre quelconque.

op LIVRE 1. Il résulte de là que les sommes des triangles des différents ôrdres forment la progression géométrique