La transformation ce

a+ by/—r en: p(coszy—1sin2)

ramène toutes les opérations sur les quantités imaginaires aux opérations sur des expressions de la forme

cosz = ÿ— 1 sinz,

et nous avons vu que celles-ci se ramenaient toutes aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs, propriétés tout à fait analogues à celles des exponentielles.

Cette analogie sera encore augmentée par les considérations suivantes.

Représen tation des sinus et cosinus par des exponentielles imaginaires.

39. Si dans le développement de e* on change x en x Ÿ— 1, et qu’on représente la série résultante par e* du où aura ft LT Æ 2 —1 . L'

Vi — / a) TS HaN-i- — — Re Le \ 1.2 12 RE

Si l’on convient de même de désigner par «7* "7! le ré-

sultat de la substitution de — x Ÿ— 1 à x dans le développement de e*, on aura

N 3 pt fa CES — 2 2V—1 x { >) GR En RMI nl Ke ee il Gite La ‘ 1:25 .9310

Ces équations peuvent être écrites comme 1] suit :

: 1 cosx -+ ÿ—1sinx, ( ) eV = cosx — V— 1 sinx ; d’où l’on ture

| e? VE ci Co César CDS ME ee | (4) Vs Lg | in ES Me OT 5 0 SNL = \; AU

et'dans toutes ces formules il ne faut pas oublier que eV et e* "1 n’ont aucun sens comme exponentielles ,

elles ne représentent autre chose que les séries qu’on

obtient en subsütuant + x ÿ—1 et — xV—1 dans le

développement de e*, et traitant VŸ—1 de la manière convenue.

94. Il est facile de démontrer que ces exponentieiles imaginaires doivent être traitées d’après les mêmes règles que si les exposants étaient réels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier ei par e "1, en entendant toujours par là les séries qui représentent ces expressions. et qui peuvent être remplacées par cos x + V—1 sin x.et COS Y + Ve sin y, dont le produit est cos (x + y) + V—1 sin (x + y). Cette dernière expression est représentée, dans le même

sens, par e*#)Ÿ—1; donc on peut poser

et V=i er v=2s — p(t +7) V—r

La règle des exposants réels s’observe donc dans la multiplication des exponentielles imaginaires, et, par suite, dans leur division, dans leur élévation à des puissances, et dans l'extraction de leurs racines.

584 NOTE il.

On pourrait encore déduire cette proposition de ce que e*T? étant égal à e* e’ pour toutes les valeurs réelles de x et y, on a identiquement

x + x+y > Po g?

1 I A EEE += (it + +) (+242).

L'identité ne sera pas troublée en changeant dans les deux

membres x en æY—+1, ou yen y V5 : et l’on trouvera ‘ioujours les mêmes termes réels ou imaginaires avec les mêmes signes : d’où l’on conclut

ett+r) Vi — et V=i er er

ou encore, en supposant qu'on change seulement y en Ni

ete V1) = et er Vi — (cosy + V— 1 sin y).

39. On est convenu de donner le nom de logarithmes aux exposants imaginaires, comme aux expo-

sants réels. Ainsi x + y V— 1 est le logarithme de e (cosy + Ÿ—1 siny); et pour avoir le logarithme

d’une expression de la forme a+bV—1, on posera

d'abord ab =p(cosxEy—rsinx)= er E2V—r

— Jp E(pæonz)V=x, étant la plus petite valeur positive de x, et l’on aura I(aHbyÿ—1)=£i1(a + b) Hÿ—i (pH2nr).

Si b— 0, on a pour toutes les valeurs du logarithme de a, en mL (pE2nr).

L'arc o est égal à o si a est positif, et égal à 7 si a est négatif. On a donc, en entendant par la le logarithme

arithmétique du nombre a,

1 (+ a)=latonrÿ—1, 1(—a)=lat(an+i)rV—1.

Cette dernière expression ne donne aucune valeur réelle ; la première en donne une seule.

En faisant a = 1, on trouve Di —onx V1, 1(—1)=#(an tir V— 1.

36. On peut exprimer, au moyen des formules précédentes , les racines des équations de la forme

TL" + pr" + q = 0.

En effet , on en tire d’abord

Si l'on a nt g > 0, ou — 0, les valeurs de x seront

les racines de quantités réelles, et nous avons vu comment on pouvait les exprimer au moyen des lignes trigonométriques.

Si l'on a 2 — q <o, les valeurs de x" seront de la

forme a + b ÿ—1, et l’on en extraira les racines mn", comme nous l'avons indiqué en dernier lieu.

Si l’on forme, d’après les valeurs de ces racines , ‘les facteurs réels de x?" + px" + q, on reconnaît immédiatement une construction simple qui les représente géométriquement, et qui repose sur la division du cercle en parties égales. Nous nous dispenserons d’entrer dans ces détails.