Examinons maintenant en quoi consiste l’avan
- tage que l'emploi de Vera procuré dans Îa recherche
des développements de cos” x et sin” x.
Nous avons remplacé 2 cos x par
cos æ + V— 1 sinx + cosx — V—1sinx,
qui lui est identique, puisque les deux termes
ms
V—:isinx et VT:sinr,
traités comme s’ils représentaient des nombres, se dé-
truisent. Et même si, au lieu de Ÿ— 1, on met une quan-
tité À indéterminée, on pourra remplacer 2 cosx par
(cos x +- À sinx) + (cosx — X\sinx);
et quelque calcul que l'on effectue sur cette expression , le résultat sera nécessairement indépendant de À, et les
puissances d’un même degré quelconque de cette lettre
auront zéro pour coeflicient. Or prendre seulement les termes réels du résultat, c'est négliger les puissances impaires de À et ne conserver que les puissances paires, ce qui est permis, puisque les coefficients de chaque puissance de À sont nuls. Maïs quand on remplacera }? par — 1, il pourra y avoir des réductions entre les termes correspondants à des puissances différentes de À, et notamment avec ceux qui ne renfermaient pas À, et qui sont précisément ceux que l’on trouverait en ne transformant pas d’abord 2 cosx. Il peut donc résulter de là de nouvelles combinaisons qui, sans altérer la valeur du résultat, lui donnent une forme plus commode. Cela revient à ajouter au résultat des quantités qui se détruisent : mais à chaque instant, dans l’algèbre, on voit de pareils artifices faciliter les transformations ; et ce qui fait que, dans le cas actuel, on en retire réellement un très-grand I. 37
avantage, c'est que les deux binômes dont la somme remplace 2 cos x sont tels, que les puissances de chacun d’eux s'effectuent immédiatement par la multiplication de l’are, et que le produit des puissances semblables de lun et l'autre est l'unité. Il résulte de là que la puissance °°" de cosx se trouve immédiatement exprimée au moyen des cosinus des arcs multiples de x ; et il en est de même pour
sin" x.
Usage des lignes trigonométriques pour l'extraction des racines des quantités réelles ou imaginaires.
99. Les racines de degré m d’un nombre réel positif ou négatif + À, sont les racines de l’équation J"FA— O0; ces racines peuvent se ramener à celles de lunité, en posant y — ax, a désignant la racine n°”° arithmétique du nombre À; l’équation proposée se trouve ainsi rame-
née à la suivante :
CR dont nous allons déterminer les m racines, qui sont toutes inégales, puisqu'il n’y a pas de commun diviseur entre le premier membre et sa dérivée. Soit d’abord
al = OT CURRENT Nous pouvons représenter 1 par une expression de Îa
forme cosz + Ÿ—1sinz, dont nous savons qu il est facile d'extraire la racine. Il suflit de poser z—2nt,n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif; et l’on aura identiquement
1Z= COS2727r + FE SN2A2T.
Donc l'expression :
(1) cos
donne des racines m°"* de 1, et, par conséquent, des valeurs de x pour toute valeur entière de 7.
Or on reconnaît immédiatement que l'expression (1) ne change pas quand on augmente ou qu’on diminue n# de mn: ou d'un multiple entier quelconque de #7. I suflit donc , dans la série indéfinie des nombres entiers positifs ou négatifs, d'en prendre m consécutifs quelconques; ils donneront toutes les valeurs de l'expression (1). De plus, il est facile de voir qu’elles seront toutes différentes, parce que deux de ces arcs ne peuvent avoir le même sinus et le même cosinus ; donc toutes les racines de l’équation
ET = = O seront données par la formule
QT Tu SN USD 2
nm m
Lt COS
dans laquelle on donnera à # les valeurs 0, 1, 2, etc, jusqu’à ce que l’on ait m valeurs pour le second membre; car c'est comme si l’on donnait à 2, m valeurs consécutives, les unes positives, les auires négatives.
S1 m est pair, on posera » = 2k, et il viendra nr re TETE x = cos — + ÿ— 1 sin ——.
Il faudra alors donner à 7 les valeurs o, 1, 2,..., 4. Les deux extrêmes donnent x —1,x——1, et toutes les autres valeurs de x sont imaginaires, conjuguées et réciproques deux à deux.
Si l’on a
. 11 faudra donner à » les valeurso, 1,2,..., 4.
La première donne x — x; les autres sont toutes imaginaires, Conjuguées el réciproques.
30, Soit maintenant
m LD'ÉRTLS 0 OA TES TS d’où PARENT eh
On peut encore donner à —1 la forme cos z + ÿ— 1 sin z, en posant z — (27 + 1)7r. On aura donc des valeurs de x par la formule
ZX = COS ra TL Je + et sin PUS = JL il suffira encore de prendre m valeurs consécutives de », parce qu’elles correspondront toutes à des sinus ou cosinus différents, et toutes les autres valeurs de » fourni- raïent les mêmes valeurs pour x. Toutes les racines de l'équation A+ IZ—=O
sont donc données par la formule
net TE D Li /Eaiste LORS m ; m
en donnant à » des valeurs positives depuis zéro jusqu’à ce qu'il en résulte »# valeurs pour le second membre. Si m = 2k, les valeurs de n seront o, 1, 2,..., k—1, les valeurs de x seront toutes imaginaires, conjuguées et réciproques. Si m — 2k +1, les valeurs de 7 seronto, x, 2,...,k, la dernière donnera x = — 1 ; toutes les autres valeurs de x seront conjuguées et réciproques.
Les racines de # r étant connues, on aura celles de Æ À en les multipliant par la racine arithmétique de A.
Les facteurs réels du premier et du second degré, dans lesquels peuvent se décomposer les binômes x”—7+ et x"+ 1, peuvent être représentés par une construction fort simple, qui dépend de la division du cercle en parties égales, et qui a été donnée par le géomètre anglais Cotes.
LU
SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. 561 ième
341. Cherchons maintenant à extraire la racine 2 d’une expression de la forme
ab ÿ—:1.
Nous pouvons la mettre sous la forme p(cosz + ÿ— 1 sinz), en déterminant p et z par les deux équations
pcosz—a, psinz —0; d'où eo a p=E Va! + b?, sq ONE
Pour plus decommodité, nous ne prendrons que Ïa valeur positive de p. Désignons par o le plus petit are positif
à a : b ayant pour cosinus — et pour sinus —; on pourra, sans p
que ces lignes changent, l’augmenter d’un nombre quelconque de circonférences , et l’on aura
a+ bi = p [cos (e +onr)EV—1sin(o + 2nr)|.
On aura des racines n1°"°* de cette expression en prenant la racine m°"° arithmétique de b,et la multipliant par la racine du second facteur, que l’on obtiendra par la divi sion de l'arc; on a ainsi
ei D+2A2T à + 9h77 dE — 1 sin =).
Pi 17 I suffit évidemment de douner à n, m valeurs consécu- Lives, positives ou négatives ; toutes les autres donneraient
A , les mêmes résultats. De plus, ces m valeurs de 7 donnent
des valeurs différentes pour les sinus ou cosinus de
o + 2nT. " ———; donc, en donnant à n les valeurs o, F3
