PL RUE 4F

“… partielles —-,=— sera toujours le même, après avoir do dy

substitué la valeur de y tirée de F = 0, quoique chacune de ces deux dérivées change quand on transforme l’équation F= 0. En effet, si lon a une équation quelconque E(xy, z, u) —=0, le rapport des deux dérivées partielles du premier membre par rapport à deux des variables, u et z par exemple, exprime toujours, au signe près, la dérivée de l’une des variables w et z par rapport à l’autre; et par conséquent, après l'élimination de l’une des deux, il ne dépend pas de la forme sous laquelle on présente l'équation qui les lie.

Ainsi, lorsqu'une transformation de l'équation (1 ) |

. ‘ 7 ° 1F fera perdre des solutions à l’équation — — 0, elle les | dy

L I fera acquérir à l'équation — — 0.

{ 4 d dy 15. L'intégrale singulière.a une liaison géométrique très-remarquable avec l'intégrale générale. En effet, en

26 LIVRE gV- de".

éliminant a entre l'équation (1) et sa dérivée partielle par | rapport à a, on a l'équation du lieu des. intersections successives dés courbes représentées. par l'équation (1 dans laquelle on fait varier a d’une manière continue, Donc l'intégrale singulière représente la courbe enyeloppe des intégrales particulières. ; ne |

Remarque.—Si l’on construit, d’après l'équation diffé rentielle, le lieu géométrique d’une quelconque deses ga | } grales, comme nous l’avons indiqué précédemment, et quê l'on choisisse pour l’ordonnée y, celle de la courbe enve” loppe, correspondante à l’abscisse x,, l'équation devra

. PEN d A fournir deux valeurs générales de D correspondañtes,

l’une à l'enveloppe, l’autre à l’enveloppée, et qui seront égales, pour le point commun à ces deux courbes. La construction indiquée fournira alors les deux courbes. IN! y a toutefois une exception remarquable à ceite proposi= tion : elle a lieu lorsque Penveloppe qui représente lin tégrale singulière est une ligne droite. "+ En effet, si l’on part d’un point de cette droite, deux dy valeurs de 7x Sont égales en ce point, et, par conséquent;

les deux valeurs cor respondantes de dy que l'équation fera connaître seront les mêmes, comme cela a lieu en! général; mais, dans le cas actuel, une deces valeurs sera rigoureusement exacte, et ce sera celle qui correspond à la ligne droite dont l’équation du premier degré donne, sans rien négliger, dy = pdx, tandis que dans tout autre cas on néglige une quantité infiniment petite par rapport à dy. I suit de là que le point voisin du point de départ appartient rigoureusement à l'enveloppe, et qu'on se | trouve, par conséquent, dans le même cas que le premier: On voit donc que, dans ce cas, l'équauon différentielle donnera l'intégrale singulière seulement, et aucune des