CHAPITRE II

INTÉGRALES SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE, DÉDUITES DE L’INTÉGRALE GÉNÉRALE OU DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

13. Soit (1) BAT, a) = l'intégrale générale d’une équation différentielle du premier ordre; & étant la constante arbitraire, qui, éliminée entre l'équation (r) et sa dérivée

dE dE dy (2) Te et

dy dé 18

conduit à l'équation différentielle proposée. IL s’agit de savoir si cette dernière peut admettre des solutions qui ne soient pas renfermées dans l’intégrale générale.

Or toute équation entre x et y peut se mettre sous la forme

(3) F(x, Jr?) =0;

@ étant une certaine fonction de x et y, et F désignant la même fonction que dans l'équation (1) où l’on a remplacé la constante a par la fonction +. En effet, si l'on égale F(x;7, ®) à une fonction quelconque, on tirera pour 9 une valeur qui rendra cette équation identique. On peut donc supposer que l'équation (3) représente une solution quelconque de lPéquation proposée, et il reste à voir ce que doit être pour cela la fonction o.

En différentiant l'équation (3), on trouve, en désignant

Vh

par = —— la dérivée totale de +

dE . dFd dF d (4) HR + To,

dx dy dx de dx

équation dans laquelle on peut remettre la valeur o tirée

de (3); ce qui produit le même effet dans les deux premiers termes de (4), que si l’on tirait a de (1) pour le reporter dans (2). Donc, pour l'identité des valeurs de

dy. . = Hs, Ts il est nécessaire et suffisant que la substitution de p rende dF do do dx (5) dF — © ?

na

y étant regardé comme la fonction de x cherchée ; ce qui peut avoir lieu de plusieurs manières.

1°) SE — 0, @ n'est autre chose qu’une constante; et dx

l'équation (3) coïncide avec l'intégrale générale: d F

do . Si l’on égale à zéro — FR» après la substitution de la

dy

valeur de o tirée de (3), ce qui détermine la valeur cher:

chée de y, on a le même résultat que si l’on déterminait © dF 4

: .: de a par l'équation + — 0, et qu'on reportàt sa valeur dans (3).

dy D'où l’on conclut que, quand on a l'intégrale générale

d’une équation différentielle du premier ordre, on aura

touies les autres intégrales en éliminant la constante entre l'équation intégrale et sa dérivée partielle parwap=

? Je INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 25 Dort à la constante, égalée à zéro; ou sa dérivée partielle par rapport à y, égalée à l'infini. Néanmoins il faudra - s'assurer si chacune de ces hypothèses annule réellement le premier membre de l'équation (5) et ne le réduit pas , ©

Lo:

Il sera encore nécessaire de s'assurer si les solutions ainsi obtenues ne sont pas renfermées dans l'intégrale "générale. Dans ce cas particulier, on aura une intégrale

particulière au lieu d’une intégrale singulière.

14. Sous’ quelque forme qu'on mette l'équation (1), Papplication des règles précédentes doit nécessairement conduire aux mêmes solutions, et c’est ce que l’on peut ” vérifier en observant que le rapport des deux dérivées