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; æ var, , ; dans laquelle y représente SE

La représentation géométrique de la solution singulière étant la courbe enveloppe de celles qui représentait les intégrales particulières, celles-ci se coupent généralement les unes les autres; et, quand elles sont infiniment voisines , le point d’intersection devient un point de contact et appartient à l'enveloppe. Aïnsi l'équation (6) doit généralement donner pour une même valeur de x et y, au moins deux valeurs différentes de 7’, et deux de ces valeurs doivent devenir égales quand x et y se rapportent à un point de l’enveloppe, ou, en d’autres termes, satisfont à l’équation qui représente la solution singulière. On exprimera donc que l’équation (6) donne deux va-

ne ales pour y’ 1i se fera en posant LR i g pour y, ce qui se fera en p PES "Si

f (x, y;.y') est une fonction dont la forme soit unique. Si sa forme était multiple, on pourrait la réduire à être unique, ce qui rentrerait dans le premier cas : on pourrait aussi trailer successivement chacune des équations disunetes renfermées dans f(x, y, y} —0, et exprimer

Le qu’elles donnent des valeurs égales de y/, ou bien qu'une À valeur de y’ tirée de l’une est égale à une valeur de y\! tirée de l’autre. Si par exemple l'équation (6) était rés « solue par rapport à y’, on ne pourrait employer que le « FN ME et ue ces LS deux N dns DU $ tous les cas, soit 9 (x, y, y} —0o une équation expr®, mant que l'équation (6). donne deux valeurs égales de F la solution singulière devra satisfaire à ces deux équ tions, et par conséquent au résultat de l'élimination de 3 entre elles. Opérant donc cette élimination, on aura unë | équation entre x, y qui renfermera la solution singulière | si elle existe. On vérifiera donc si les diverses valeurs de y en x qu'elle fournit satisfont à l'équation (6) ; et si l'om en trouve qui ne rentrent pas d’ailleurs dans lintégrale

générale, on connaîtra la solution singulière. Soit comme exemple (7) 7 = ay" + f(r"), “il * dre f désignant une fonction qui n’ait qu’une seule valeur pour une même valeur de y. Nous aurons, pour condis tion d'égalité de deux valeurs de y’, (8) z+/f(y)= 0, Là et il faudra éliminer y’ entre ces deux équations. Il reste à vérifier que l’équation résultante en x, y satisfera à la proposée (7). En effet, supposons que de léquation”(8) on tire y/— 9 (x), et qu'on le reporte dans l'équation (9; on aura se

(9) r=xe(x) + flex) En la différentiant, on irouve

d ; D (a)+# (elle + P'ele)l= o Ce)

HLe. v # De) à

Féquation différentielle propos

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