CHAPITRE IV

nd

17. L'équation la plus générale du premier ordre, ù , ee LP à k.

dans laquelle le rapport différentiel . ne passe pas le

premier degré, peut se mettre sous la forme

dy . | Qdy +Pdx —o, ou QT +P=o,

Pet Q étant deux fonctions quelconques de. x et y. On pourra toujours y appliquer le procédé général qui consiste à développer y au moyen du théorème de Taylor ou de Maclaurin. Il arrive quelquefois que la série peut être sommée; quelquefois aussi elle a une forme tellement compliquée, qu'on ne peut pas parvenir à la réduireà une forme finie. Voici quelques exemples dans lesquels ce procédé s'applique sans difficulté.

Soit | dy dx

+ ay + bai = 0.

En la différentiani un nombre indéfini de fois, on trouve

dy dy ee

dx? RP

By d'y GRRLTEE + 6 bx = 0,

d'y d° y. < e A M PU

Qr-05 0! 6.407" 0 0" CHROME

MH ; ra 0

: Si l’on fait æ —0o dans toutes ces équations, il vient

| dy “El (ar) aus : dn A à k (= dr MÉTe da }o UE Æ

(ET) = er — 66, (Se — — 47, + 6ba,

: dit" Ÿ ONG FR ; dx+" 0 ŒN a dx+" } 7

d’où Said ax I— ax en s dora 2 V1923 ) 64 x avi a?

Mme te. 5 rs 0 FR ou at Gb ax + °° ax V= YoeE— — |eTu — 7; ÂX — EE PAL a“ 2 1:2:3 |

6b Ù ou, en‘observant que Yo — 7 peut être remplacé par une

constante arbitraire c,

L'intégrale générale étant connue, on obtiendrait les intégrales singulières par la méthode que nous avons Cx-

posée précédemment. Il est facile de voir qu l n’en existe pas dans le cas actuel.

dy 18. Soit encore. x ++ ax" =0, m étant entier

et positif.

32 LIVRE 1IW. ST; ge

On obtient, par la différentiation, ME dy en — — MALE = 0 :

Or pE Ait dx 3% 4 à.

dy d?y L ==" #3 mm —1) Axe? —= 0 dx dx? He ) 4 .

. . . e . # dm+ri 1m x Te + (m+i)-== + m(m—i1)...2.1a=0, din \ d'erraiy DRE EU MEN) ET EE CE dat ( LE ) damtr-i ,

n étant plus grand que 1.

Si l’on fait x —0o, y et tous les coefficients différentiel deviennent nuls si l’on suppose qu’ils ne soient pas infinis, m(m—1)...2.1.a

dont la valeur devient — m HI

excepté >