DES GRANDEURS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES D’INFINIMENT PETITS

26. Une des conceptions les plus importantes dans la mesure des grandeurs, est celle par laquelle on les considère comme limites de sommes de quantités d'espèce plus simple, qui tendent indéfiniment vers zéro, en mème temps que leur nombre augmente indéfiniment. Ces infiniment petits sont susceptibles d’une grande indétermination; ils ne sont assujettis qu’à la condition que la différence de leur somme à la quantité proposée ait pour limite zéro. Il reste donc beaucoup de latitude dans le choix de ces éléments, et l’on peut en profiter pour simplifier considérablement les calculs.

Le principe fondamental sur lequel se fondent ces simplifications est le suivant :

Taéorème. — La limite de la somme de quantités positives infiniment petites n'est pas changée, lorsqu'on remplace ces quantités par d’autres dont les rapports avec elles ont respectivement pour limite l'unité.

Soient, en effet, les infiniment petits

Xi Us Ass ... ] Um s

dont la somme tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Soient d’autres infini-

ment petits

Bi B2, Bs»e..) Br » |

tels, que les rapports Ait ces Em FEAT aient tous pour limite l’unité.

Or on sait que si l'on a une suite de fractions dont les dénominateurs soient positifs et les numérateurs de signes quelconques, la somme algébrique des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs est intermédiaire entre les deux qui sont algébriquement la plus petite et la plus grande.

La fraction

Qt Et Re am.

Bi Bibi PR | sera donc comprise entre la ee grande et la plus petite des précédentes . et tendra nécessairement aussi vers l'unité: d’où il résulte que les limites de son numérateur et de son dénominateur sont égales ; la somme 6,+f5,+f6,+...+8,, a donc la mème limite que a + a, +...+ 0, Ce qu'il fallait démontrer. |

Si l’une de ces deux sommes était invariable, la limite de l’autre serait égale à la valeur constante de la première, puisque la limite de leur rapport est l’unité.

Remarque. — Si le rapport de deux éléments correspondants quelconques des deux sommes, au lieu de tendre vers l'unité, tendait vers une même limite quelconque /, le rapport des deux sommes serait compris entre pans rapports ayant / pour limite, et aurait, par conséquent, cette jnème limite. Donc les ea des deux sommes ont précisément L'pour rapport.

On voit donc que la recherche des limites de sommes d’infiniment petits peut conduire à celle des limites des rapports, que nous aurons bientôt à considérer directement. Cette dernière recherche est facilitée par un théorème analogue au précédent, et qu'il est bon d'établir dès à présent.

27, Deuxième rHéorÈme. — La limite du rapport de

deux quantités infiniment petites n'est pas changée

quand on remplace ces quantités par d’autres, qui ne

leur sont pas égales, mais dont les rapports avec elles ont respectivement pour limites l'unité.

Soient, en effet, « et 6 deux quantités infiniment pe-

Au vf Ce. . ° œ ttes; æ’ et 6 d’autres quantités telles, que les limites de D

Lu et de F soient égales à l’unité, et que, par suite, les limites a! p”

des rapports inverses — ; mi soient aussi égales à l’unité; (e4

on aura identiquement

p PE

Les limites de quantités égales étant égales, et la limite

d’un produit étant le produit des limites, on tirera de cette identité, en désignant les. limites par labrévia-

st a tion lim., et observant que lim. g 1e Eim.—= 1, [e À .

, : œ ; œ BAR — lim. gr

Ce qu’il fallait démontrer.

28. On peut énoncer ces deux mêmes théorèmes d’une autre manière, au moyen de la proposition suivante :

Lorsque la limite du rapport de deux quantités est l'unité, leur différence est infiniment petite par rapport à l'une quelconque des deux; c’est-à-dire que le rapport de cette différence à l’une quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

Et réciproquement : S£ la différence de deux quantités est infiniment petite par rapport à l'une d'elles, la limite de leur rapport est l'unité.

: . à LE Soient, en effet, « et x’ deux quantités quelconques et 2 leur différence ; on aura | d

PTE ARE æ—a+d, d'où LS SE:

. . 0 e. Lé 6) # Donc, si la limite de — est l'unité, celle de — est zéro, (s 4 œ

et réciproquement.

Si l’on avait divisé par & au lieu de &/, on aurait prouvé

Ô . e , . L pie que - a pour limite zéro; et d’ailleurs il est évident que d, &

étant la différence de « et «/, est contenue dans le plus

grand une fois de plus que dans l’autre, et que, par consé- Q d L2 L1 quent, les rapports = sont en même temps infiniment

petits.

On pourra donc énoncer le premier théorème de cette autre manière :

La limite du rapport de deux infiniment petits n’est pas changée, quand on les remplace respectivement par d’autres qui en diffèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Le grand avantage que l’on retire de ces théorèmes consiste en ce qu’ils permettent souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites, la partie qui en rend la comparaison et le calcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quantité elle-mème, et il n’en résulte aucune erreur dans les résultats où l’on n’a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Divers ordres d’infiniment petits.

29. Si l’on considère plusieurs infiniment petits dépendant les uns des autres, de telle sorte que, l’un étant déter-

miné, tous les autres le soient, et que l’on en prenne un en particulier pour y rapporter tous les autres, on appellera infiniment petits du premier ordre ceux dont les rapportsavec celui-là auront des limites finies ; infiniment petits du second ordre, ceux dont les rapports avec le même infiniment petit principal seront des infiniment petits du premier ordre; et en général infiniment petits de l’ordre 1, ceux dont les rapports avec l’infiniment petit principal seront des infiniment petits de l’ordre 7 — 1.

Lorsque l’on veut exprimer seulement que le rapport d’un infiniment petit à un autre a pour limite zéro, on dit que le premier est infiniment petit par rapport au second.

Cela posé, il est très-facile d'exprimer au moyen de l'infiniment petit principal, ceux de tous les ordres différents. En effet, désignons le premier par &, et par 6 un infiniment petit du premier ordre dont la limite du rapport avec « soit K; on aura

L 5 SEP d'où B—ux(K+o), æ

«) tendant vers zéro en même temps que «.

L'expression de tout infiniment petit du premier ordre sera donc de la forme

u) étant infiniment petit, et K fini.

Soit maintenant y un infiniment petit du second ordre ,

le rapport 7 devant être du premier ordre; on aura &.

L'eT LE a (K +);

et, par conséquent, la forme de tout infiniment peut du

4o IIVRE 1.

sécond ordre sera L a (K+o).

En continuant ainsi, il est facile de voir que a forme sénérale des infiniment petits de l’ordre 7 est

K étant fini, et w infiniment petit.

. Mais il y. a souvent lieu de considérer des infiniment petits dont le rapport avec une puissance fractionnaire de « a une limite finie; et l’on est convenu d’appeler

P af a une limite finie : la formule qui représentera les quantités de cet ordre sera donc

P al (K + w).

CHAPTIRE VI.

COMMENT LES AIRES DES COURBES PLANES PEUVENT ÊTRE CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES D'INFINIMENT PETITS.

30. Sommes de parallélogrammes infiniment petits. — Considérons une surface plane limitée par des arcs de courbes quelconques; divisons-la par un système de parallèles dont les distances soient dans des rapports arbitraires, mais tendent toutes vers zéro. La somme des aires comprises entre ces parallèles successives est toujours identique avec l’aire cherchée, et chacune de ces aires élémentaires offre la même difliculté que la proposée, puisqu'elle renferme des courbes dans son périmètre.

Mais si à chacune de ces aires élémentaires on supprime ou l’on ajoute des parties infiniment petites par rapport à ces aires respectives, et qui fassent disparaître la partie courbe de leur périmètre, la limite de la somme de ces nouvelles aires plus simples sera l’aire cherchée, d'après le principe général. Le moyen le plus commode d'obtenir ce résultat consiste à mener par les extrémités

. de chacune des cordes des parallèles à une mème direc-

ton arbitraire, terminées à la corde suivante. Soient, en eflet, MN, M'N' deux parallèles consécutives quelconques : en menant par les extrémités M’, N’{ fig. 4) des parallèles M'H, N'L à une direction tie à volonté, on retranche les parties N'VN, M'HM; en menant les RL lèles MH, NT par les extrémités M, N, on ajouterait, au contraire , les parties MHM, NN'T. Or deux de ces

quatre parties sont moindres que le parallélogramme NIN/T, et les deux autres moindres que le parallélogramme MHM'H'; ces deux parallélogrammes sont infiniment petits par rapport au parallélogramme M'H'N'Y, qui est moindre que le segment de la courbe, car leurs rapports à M'H'N/T sont les mêmes que ceux de leurs bases MH, NT à la base H’T, et ces derniers tendent vers zéro , puisque les parallèles MN, M'N’ se rapprochant indéfiniment, MH et N] tendent vers zéro, tandis que HT reste fini. Il suit de là que les rapports des parallélogrammes HF, IV au segment de la courbe ont pour limite zéro ; il en est de même, à plus forte raison, des triangles formés par les arcs MM’, NN’, et, par conséquent, l'aire de la courbe est la limite de la somme des parallélogrammes ayant pour bases les cordes parallèles, pour hauteurs leurs distances, et pouvant étre entièrement intérieurs, ou en partie extérieurs à cette aire.

On peut mème remarquer qu’il n’est pas nécessaire que les sommets des parallélogrammes soient aux extrémités mêmes des cordes : il suflit qu’ils soient en des points infiniment voisins de ces extrémités; il n’est même pas nécessaire que ces parallélogrammes soient contigus, pourvu que l'intervalle entre deux consécutifs soit infiniment petit par rapport aux hauteurs infiniment petites de ces parallélogrammes, car cela revient à retrancher de chaque élément une partie infiniment petite par rapport à lui-même. Cette considération générale, dont l’exactitude résulte du principe fondamental, s'applique à tout ce qui suit. |

Pour abréger, nous représenterons une somme de termes ayant une même expression générale par le

signe D suivi de cette expression. Ainsi, w désignant

une corde quelconque et æ la distance de deux cordes

consécutives , >> ua représentera la somme des aires des

parallélogrammes variables, et lim. > ua représentera la

limite de leur somme, ou l'aire de la courbe.

31. Sommes de trapèzes infiniment petits. — Au lieu de supposer les lignes MH, M’, NI, N'T parallèles à une direction fixe, on pourrait les mener dans des directions différentes les unes des autres, et variables d’une manière arbitraire d’une tranche à l’autre : il suffit qu’elles fassent toujours un angle fini avec les cordes. En effet, la figure NIN/I’ deviendra un trapèze dont les bases NT, NL seront infiniment petites, puisque les lignes N'T, NI font avec MN des angles finis, et que la hauteur du trapèze est infiniment petite ; la mesure de ce trapèze a donc un rapport infiniment petit avec celle du trapèze intérieur M'H'N''et, par conséquent, avec le segment même de la courbe. Il en serait de mème du trapèze MHM'H. Si donc, au lieu de ce segment, on prend un des trapèzes ayant pour base MN, M'N’, MF ou NH’, on ne fait qu’ajouter ou retrancher à l'élément exact de l’aire cherchée, une quantité infiniment petite par rapport à cet élément, et la limite de la somme de ces trapèzes sera précisément égale à la somme des éléments exacts de cette aire ou à cette aire elle-même. |

Le cas le plus simple est celui des trapèzes inscrits dans le segment : les côtés non parallèles sont alors les cordes MM”, NN’, Il peut aussi être quelquefois utile de faire concourir toutes les lignes MH, M'H/', NI, N'T' vers un même point; et c'est ce qua fait Archimède dans une de ses méthodes pour la quadrature de la parabole.