EU TU

En prenant le signe supérieur, on a

équation d’une cycloïde dont la base est située sur laxe Lé Lé G des x, et dont le cercle générateur a pour rayon -» dont

la valeur est arbitraire. Et, en effet, on sait que dans toute cycloïde aïnsi placée, le rayon de courbure est double de la normale.

En prenant le signe inférieur, on a

Fan Vr—c d’où x c—2\Ve(y—c}, ou x — c'} D 4 c Li

équation d'une parabole dont l’axe est perpendiculaire à l'axe des x.

La normale se rapportant à une droite donnée, que l’on a prise pour axe des x, si l’on changeait cet axe, il faudrait se rappeler que la normale doit être prolongée jusquà la droite donnée, et non jusqu’au nouvel axe des x. Maïs on peut prendre l’origine en tel point que l’on voudra de cette ligne, par exemple celui dont l’abscisse est c', ce qui revient à faire c— 0; on à ainsi

et il est facile de vérifier que, quel que soit c, la parabole

représentée par cette équation a son rayon de courbure double de la normale et dirigé en sens contraire.

2°, Soit m —1; l'équation différentielle de la courbe

sera

dry me Sprenmitus eV |

En prenant le signe supérieur, il vient

VAT dr = ——— \; 1 LE un Ni J d'où x— cl =— rc — VS OU

Go + (a FAT 2 = LL LE

équation d'un cercle quelconque ayant son centre sur l'axe des x. Et l’on voit, en effet, qu'alors le rayon de courbure sera toujours égal à la normale, et dirigé dans le même sens.

Si l’on prend le signe inférieur, on trouve cdy AR = ————> Ve

d'où

+ V E rec- À c?

L =— c’ D it log J, TRES .

Remplaçant x — c' par x, on obüent Tr

T + Vri— © = ce* ,

pur, C Re AS z=-\é+e °};

qui se réduit à

c'est la courbe que l'on nomme chaüriette : elle est symé=

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIiFFÉRENTIELLES. 107 trique par rapport à l’axe des y, et son sommet est à la distance c de l’axe des x. Il est facile de vérifier que son rayon de courbure est égal à la normale et dirigé en sens contraire. |

Une des équations que nous venons de traiter peut être intégrée plus simplement par une considération particulière : c'est celle que l’on obtient en supposant m=—1, et

prenant le signe supérieur, on a alors d'y dy?

—— A == 0 Ke e dx? m dx” % /

: PP 1: dy les deux premiers termes formant la dérivée de y 7 On aura, en intégrant,

d PT + —c=0;

dx et, en intégrant de nouveau, P+(z-c}—=c",

équation qui ne diffère pas de celle que nous avions déjà trouvée.