CAL AND

Y et comme u = —-» On aura

Li (2 c)

et l’on connaîtra ainsi l'intégrale sénérale de l'équation proposée.

69. Lorsque le second membre de l’équation (3) est de la forme udp

o(P) on remplace l'équation (3) par la suivante :

dx LAN udp

ui devient, en multipliant par 2 q ’ P Pakige

Y'A PAP) x g(p)

d gr = [2

d’où l’on üre

ñ ONE

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 103 Effectuant l’intégrauon et désignant par c une constante arbitraire, on mettra y sous la forme

y = cy(p):

Si l’on peut résoudre par rapport à p, on raménera léquation à la forme dx = y(7)dy,

et l’on intégrera les deux membres; sinon, l’on tirera des équations précédentes

diese pPrdp cpŸ (p)dp p(P) p(p)

= FRS v(p LX (p}

et l’on éliminera p entre cette équation et y = cŸ (p).

= pdx,

d'où

70. Nous trouverons une application de cette méthode dans le problème suivant : Déterminer la courbe dans laquelle le rayon de courbure est proportionnel à la normale.

On obtient immédiatement l’équation différentielle

mn étant le rapport du rayon de courbure à la normale. Le signe supérieur se rapporte au cas où Île rayon de courbure est dans le sens de la normale , et le signe inférieur, au cas où il est en sens contraire.

Posant MER 42, dy = pdrsud 0 = dx?,

on obtient

EP mugl "d'où q—=——);

et, par suite, du FETE mudp (p — PE NU I E po

équation qui ne rentre pas dans celles que nous avons intégrées. Mais, d’après la remarque faite dans le dernier numéro , on la remplacera par la suivante :

d’où l’on déduit successivement

dx *\__ mdp dy ___ mpdp TA LT

nt

“ m 4 Hs log 7 +, los(i+p)= los (1 +p)7 2

1\ 12 RC LL NE | 2 1 TRE PF c — dx

dx = Lu ———,

Il y a des valeurs particulières de m qui rendent cette intégration possible, savoir m—2, m—1. Examinons successivement ces deux cas.

1°. Soit m — 2, on aura