APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS A QUELQUES EXEMPLES

39. Aire du segment parabolique. — Cette question nous offrira des exemples de procédés très-divers qu’on peut employer dans la recherche des quadratures, et donnera une idée de la variété des ressources que présente la méthode infinitésimale.

PREMIÈRE SOLUTION. — En rapportant la parabole aù diamètre AB (jis.6) de la base CD du segment oblique donné, et à la tangente AY parallèle à cette base, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses, et l'équation de la courbe est de la forme

Y° = 2pz.

Coupons la surface par des parallèles à AY; l’aire ADC pourra être considérée comme limite de la somme de parallélogrammes intérieurs qui seront divisés en deux parties égales par le diamètre AB ; de sorte que les deux aires ABC, ABD, étant limites de sommes égales, sont équivalentes. Il suffit donc de calculer la moitié ABC.

On connaîtra l’aire ABC si l’on connaît son rapport au complément AEC de cette aire au parallélogramme ABCE; et pour cela, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants PMHP’, QMKQ' des sommes qui ont pour limites ces deux aires. En désignant par x, y les coordonnées du point quelconque M, et par h et k les accroissements qu’elles subissent quand on passe de M à

M’, on aura PMHP' y4 QMKQ' r#

et l’on à, par l'équation de la courbe,

Me 2 PT, (y +k}=2p(x +), d'où | 2Yk + k = 02 ph.

On tre de là À, au moyen de k, et le rapport cherché

h 1 de devient xÀ

Ce rapport tend donc vers la limite 2 lorsque k tend vers zéro. Les deux aires ACB, AEC sont donc les limites de sommes d'infiniment petits tels, que le rapport de deux correspondants quelconques tend vers la même limite 2 : donc, d’après les principes démontrés (n° 26), le rapport des aires ACB, AEC est précisément 2.

Ainsi l’aire ACB est les deux tiers du parallélogramme

AECB ; et l'aire proposée ACD est les . de ce même pa-

rallélogramme, ou du triangle rectiligne ACD, comme Archimède l’a démontré le premier.

Deuxième sozuTion. — Il est facile de calculer directement l’aire AEC, qui est la limite de la somme des parallélogrammes QMKQ' ou QHM’Q/, dont l’expression générale est xk sin A, À désignant l'angle YAX. k désignant l’accroissement successif de y, il est nécessaire d'exprimer x au moyen de y; ce qui donnera pour expression d’un quelconque des parallélogrammes ee Or si l’on suppose dans ce cas-ci que les hau-

teurs des parallélogrammes soient toutes égales, ee qui

était inutile dans la solution précédente, les valeurs suc-

cessives de y seront K; ON, CORNE et l’on aura

nk = AE, ou (r7+1)4— AE,

suivant qu'on prendra les parallélogrammes QM' ou QK,

ce qui est indifférent.

Il s’agit donc de trouver la limite de la somme

Æ5 sin A 2p

lorsque 7 croît indéfiniment, et que À décroît en même q 9 q temps de telle sorte que l’on ait toujours 7k — AE.

Or Archimède à donné pour la sommation des carrés des nombres naturels une formule qui, écrite avec les signes employés par les modernes, donne