LÉ 97 2 SL NM

Il faut donc trouver la limite de l’expression suivante ksinA n(Rr+i1)(22 + 1) 2.p 1.24

ou AE(AE + 4 )(2AE + Æ)sin A 22 00P

lorsque k tend vers zéro. Cette limite est évidemment

AE . sinA AB.AEsinA

OL ee 2.3p 3

AE en observant que — — AB.

L’aire AEC est donc le tiers du parallélogramme ABCE;

et l'aire ABC en est les deux tiers, comme nous lavions trouvé par le premier procédé.

Trorsième soLurion. — Cette solution aura l'avantage de donner un exemple d’un mode de décomposition irèsdifférent des précédents. Nous y considérerons une aire comme limite d’une somme d’aires infiniment petites déterminées par des droites tangentes à une même courbe.

Soient ACC { fig: 7) le segment parabolique; AB le diamètre, CD la tangente en C, d’où résulte AD = AB; nous allons comparer les deux aires ACB, DAC.

Nous considérerons ACB comme limite d’une somme de trapèzes inscrits PMM'P’, dont les côtés PP” situés sur AB tendent tous d'une manière quelconque vers zéro.

Quant à l'aire DAC , nous mènerons en M et M les deux tangentes MT, M’T', d’où résulitera AT — AP, AT'— AP’, TT'— PP’, Si par le point de rencontre R de ces tangentes on mène une parallèle à AB, on aura le diamètre des cordes MM’ qui passera par conséquent par le milieu de MM'; de sorte que l’aire du triangle TRT” sera la moitié de celle du trapèze PP'MM'. Or il est facile de reconnaître que l'aire DAC est la limite de la somme des triangles T''TR. En effet, cette aire est exactement la somme des aires comprises entre chacun des arcs MM, la tangente M’T”, la base T’T et la tangente TM, terminée en M. Mais chacune de ces aires diffère du triangle correspondant T'TR d’une quantité infiniment petite par rapport à lui, lorsque PP’ tend vers zéro ; car cette différence est moindre que le triangle reculigne MRM' dont le rapport au triangle T’RT est celui des rectangles des côtés qui comprennent leurs angles en R, qui sont supplémentaires; rapport qui est évidemment infiniment petit. Donc l’aire DAC est la limite de la somme des triangles T'RT.

Cela posé, les deux aires ACB, DAC étani limites de

bo LIVRE 1.

sommes d’infiniment peuts qui sont dans le rapport de 2 : 1, seront elles-mêmes dans ce rapport. Donc AGB est les deux tiers du triangle DBC, ou du parallélogramme construit sur AB et BC; ce qui ramène aux résultats précédemment obtenus.

34. Généralisation du problème. — Au lieu de léquation particulière y? = 2px, prenons l’équation plus générale y" = px”, n et m étant des nombres entiers quelconques, positifs ou de signes contraires. Les courbes qu'elle représente seront paraboliques dans le premier cas; dans le second, elles seront des hyperboles ayant les axes de coordonnées pour asymptotes.

1°. La courbe représentée par l’équation y” = px”, m et 2 étant positifs, passe par l'origine, et nous nous proposons de mesurer l’aire comprise entre un arc AM (fig. 8) et les coordonnées MB, AB de son extrémité M. Pour cela, nous chercherons le rapport des deux aires AMB, AMC; et, à cet eflet, nous comparerons deux parallélogrammes correspondants NP’, NQ', éléments infiniment petits des sommes dont les limites sont AMB, AMC. En désignant par x, y les coordonnées de N, par 2, k leurs accroissements en passant de N en N'’, le rapport des deux parallélogrammes sera

1 L] L2 L1 h L2 L 2 € — et sa limite sera = lim. a Pour obtenir la limite de 6 2 C1 « + -

es Le 7 il faut exprimer que les deux points sont sur la courbe, ce qui donne

= pe", (+ =p(z +)".

Développant les puissances, et supprimant les premiers termes des deux membres qui se détruisent, il vient

(RIT + B) — le( MPa" Æ a),

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. bi B représentant une somme de termes qui renferment # depuis la première puissance jusqu’à la (7 — r)*"*, et « une somme de termes renfermant À depuis la première puissance jusqu à la (m2 — 1)". On tire de cette équation h ny" +6 Â MPa Ti et, par coriséquent, L 4 n n—i lim. LE Eee > RU ie RPM PRET

La limite du rapport des deux parallélogrammes est donc |

nr n