X, + X:0, +. + DEL

l'équation (2) deviendra, en faisant V + iz +... + 0, su =,

dv (4) de — UE AS

équation linéaire que l'on sait intégrer. Maïs occuponsnous d’abord de la résolution des équations (3).

En laissant de côté la première, on a m — 1 équations du premier degré, qui détermineront 6, 0,,..., 08, en fonction de a; les reportant dans la première , on n'aura plus que l’inconnue a, et il est facile de voir que l’équation sera du degré m. En eflet, si l’on réunit les coeffi-

cients des mêmes inconnues dans les m—1 équations,

d'où l’on ure 6,,...,60,;, on observera que & entre au premier degré dans le coefficient de 6, dans la première, de 4, dans la seconde, etc., enfin de 8, dans la dernière, et que, de plus, il n’entre dans aucun autre. Donc le dénominateur commun des valeurs de ces inconnues renfermera a au degré m — 1, et le numérateur au degré

m— 2 seulement. Quand on fera la substitution dans la

première et qu’on chassera le dénominateur, on aura évi-

demment une équation du degré m en a.

Actuellement , l'équation (4) donne v—= eÆ(C+f Xe“ dx) = y +0z2+...+ 0m u

Si l’on met successivement dans cette équation les m valeurs de a, on aura à chaque fois des valeurs différentes pour @,,...,0,;, et l’on pourra prendre pour la constante C des valeurs différentes arbitraires, puisque toutes ces équations subsistent indépendamment les unes des autres.

On aura donc ainsi 7 équations du premier degré entre

æet les m variables y, z,..., u. Les valeurs de ces va-

riables en fonction de x renfermeront m consiantes arbitraires , et seront de la forme

Ÿ —%i et (C, + Xe dr)+ a, et:r (C+ fx e—usT dx)+- y (Glace (a+ fx era) +ee(C+ fre sa),

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Les valeurs des constantes se détermineront très-facilement si pour une certaine valeur x de x on connait les valeurs ,, Zo,.-., 4, des fonctions y, z,...,u. En effet, on prendra, pour plus de simplicité, toutes Les intégrales à partir de x, ; et si, dans la valeur de v trouvée ci-dessus, on fait x — x,, on aura

Ceñto =. Yo + û, 20 & à 5 —+ Dés Us;

ré

ce qui détermine la constante C relative à une quelconque des valeurs de a, 0,,.... On connaîtra donc ainsi les m constantes C;, C,..., Ch.

Si les seconds membres des équations (1) étaient nuls, on aurait seulement Ve Cu, ENFÉCHENEEETES z = Chen EL..,

. e e . . e e. e L e. C2 e er Mu”

Si l’on suppose toutes les constantes nulles, excepté une, on aura des solutions de la forme

y = Cacit, Oz SCORE Les rapports des variables sont constants, quel que soit C, et les valeurs générales sont formées des sommes

de ces solutions particulières correspondantes aux divers exposants @,,..., An.