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NA = My'+Nz + Py + Qz +R, (4 24 n V 4 EST 4 ! À LE " / TUE {4 [ZA " Dr J'+<N z+ Pr + Q"z+R7.

On éliminera z, z’, y’ entre ces quatre équations, et l’on aura une équation linéaire du quatrième ordre en y. Quand elle sera intégrée, on substituera la valeur de y

dans trois des premières, et l’on en tirera la valeur de z qui renfermera les quatre constantes qui entrent déjà dans y. Si l’on avait suivi l’autre marche, on aurait différentié deux fois chacune des équations données , et l’on aurait eu six équations entre lesquelles on aurait éli- Jp dz d' 3 ; ; STE | MINÉ Z, or On aurait ensuite substitué à y sa valeur en fonction de x et de quatre constantes arbitraires , dans les cinq équations conjointes; et l’on en aurait tiré la valeur de z en fonction de x et des mêmes

constantes arbitraires.

Équations linéaires simultanées du premier ordre.

82. Ces équations peuvent être résolues par rapport aux dérivées des m variables y, z,...,u; et nous supposerons d'abord que les coefficients de ces variables soient des constantes données, mais que les termes qui en sont indépendants puissent être des fonctions quelconques de æ. Nous aurons des équations de la forme suivante :

A Bis D EP d = #."E

/ dx LOIRE (1) Car Bis Li Pru(Xs,

= + AnY + Bnz +...+ Pru = Xn.

On pourrait les traiter par les méthodes précédentes, et l’on parviendrait à une équation linéaire de l’ordre m à coefficients constants. Mais il est plus simple d'employer le procédé suivant :

Multipliant ces équations, à partir de la seconde, par les indéterminées 0,, 0,,..., 0,1, puis les ajoutant, nous

aurons

f dx

{A+ A0 +...+Amôm)Y

+(B,+B: 0 +... +By 0m) 2 + +(P,--P, 8,+...+P, : AR) u \ =X,+X,0+...+xX,0,

Or cette équation ne renfermerait plus que la seule variable y + 0,z+...+0,;u, si les rapports des coefficients de z,...,u au coefficient de y étaient respectivement 04, 0,..., 0 1; et ces conditions détermineront, comme on va le voir, les valeurs de @,,...,0,1. Si l’on désigne par — a le coefficient indéterminé de y, on sera conduit aux m équations

A; + A0: +.. + Ann1= 6

B;, + B,0+...+ Brô0» = — ab,, (5)

P, + P,0, +. + Prôn1 = — 40».

Ces équations détermineront les 72 inconnues a , 0,,...,0,1, et si l’on désigne par X la fonction connue