D — DT 7 MONT

Si les racines de l’équation (d) étaient imaginaires, les valeurs de y et z se présenteraient sous une forme imaginaire, et on leur donnerait la forme réelle par les transformations ordinaires. Mais si ces racines étaient égales, les dénominateurs de y et z deviendraient nuls; alors les formules (£) seraient absurdes, à moins qu’on ne supposät, comme on peut le faire, que les constantes C;, C; devinssent égales en nième temps que 6, 6,, et ces formules donneraient les valeurs de y et z sous la

O forme =.

Pour déduire des équations (£) les valeurs relatives à ce cas particulier, on pourra supposer que les coefficients des équations (+), ou seulement l’un d’eux choisi à volonté, soient modifiés de manière que les valeurs de 0 ne soient plus égales, et qu’on fasse tendre ensuite ces coefficients vers les valeurs données. Il sufhra de trouver les

limites des valeurs de y et z, avec deux constantes arbi= traires, pour avoir la solution cherchée. On pourrait suivre pour cela la même marche qui a été suivie précédemment dans un cas semblable; mais il est possible d'a: bréger le calcul par les considérations suivantes, qui sont RUE dans d’autres circonstances.

On remarquera d’abord que les deux termes des fractions qui représentent y et z peuvent être regardés comme des fonctions de la variable 0, qui tend vers la limite 6, car a dépend de 8, par la seconde des équations (6), et la constante C, tendant vers C; peut être considérée comme une fonction arbitraire de 8,, ayant pour limite C;. On pourra alors traiter les formules (é) d’après les règles ordinaires relatives aux fractions qui se réduisent

#5 FA ! ; à — pour une valeur particulière d’une lettre qu elles ren-

ferment.

Différentiant donc par rapport à 8, les deux termes des fractions qui représentent y et z, on aura pour la première

dc. ds

Te 4 C,rent

d9; LUE db,

et pour la seconde F4 Es da;

enT C:0, XOERT — , d0, d0,

C, enEz PERS 9,

et l’on aura les limites de y et z, en faisant dans ces ex- TON 0, —0,, a; — ai, GC: — CG, et observant que

T0 : sera une constanie entièrement arbitraire CG, puisque

: ; den da; C, est une fonction arbitraire de 8,. Quant à mi > on en

déterminera la valeur au moyen de la seconde équation (6), dans laquelle on considérera À et À, constants, et qui

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 127 donne da k —\— re d0

On trouvera ainsi, pour le cas des racines égales, z—(C—CAix)eur, J=(G— AC +06 CA;x)enr.

84. Si, dans les équations (1), les coeflicients A,, AÀ,,..., P,, P:,... étaient fonction de x, la méthode employée devrait nécessairement être modifiée, parce que dy dx Hz +...+0, u, vu que les facteurs 0,,..., 0,: ne pourraient plus être constants. Néanmoins on commencerait de la mème manière, et l’on poserait

dz 9 du |, lea Ge sure En n mi 7e De serait plus la dérivée de

FH +.. LH ôm nu = b, d'où l’on tirerait

dy dz mnt + On

du dv da, dde — 2 — — Z — SE « dx dx dx dx

L'équation précédente servirait à éliminer y de l’équation obtenue en ajoutant les m équations; on égalerait ensuite à zéro les coeflicients des mn—1 variables z,..., u, dans cette équation ; il en résulterait d’abord m—1 équations non linéaires du premier ordre entre les m—1 variables @,,..., 0,1, et en outre une équation du premier ordre en », que l’on iraiterait après la détermination de 402 22465 ANR

Pour donner un exemple de ce procédé, soient les deux équations

d dz (a) + AY + Bz=X, ds TAYHBz=Xx;;

multipliant la seconde par 8, et l’ajoutant à la première,

il vient dy dz dx dx Posons Y+0z—=v, d'où 7 —=vr— 0323 et

dy Eros do.

dx Hé °C GIP EN

l'équation (b) devient alors

dx

Si l’on égale à zéro le coefficient de z, on aura, au lieu de cette équation, les deux suivantes :

(c) FA TE H(A+ GA )r=X +0X,.

On commencera par chercher à intégrer la première, qui ne renferme que 0 et x; et si l’on peut y parvenir, la seconde donnera v sans difficulté. On déterminera ensuite y et z en prenant deux valeurs de 6 correspondantes deux valeurs de la constante qu’elle renferme.

Si les coeflicients sont constants, on peut satisfaire à la première des équations (c) en posant

À'ULIA D) 282

ce qui donnerait pour 0 deux valeurs ; on en trouverait, par suite, deux pour v, et l'on en déduirait y et z. Or: pourrait aussi intégrer généralement léquation en 6, et prendre deux valeurs de cette fonction de x correspondantes à deux valeurs de la constante, comme dans le cas où les coeflicients étaient fonctions de x.

Ce dernier procédé sera appliqué avec avantage au cas

où les deux racines de l’équation s

A,0+ (A — B,)0 — B—0o étant.égales, les formules données par le premier deviennent illusoires. Dans ce cas, on a, en désignant par « cette valeur de 8,

d'ou

e étant une constante arbitraire. En donnant à c les deux valeurs æ et o, qui sont ici les plus commodes, on trouve

I e . 2 pour 6 les deux valeurs «& et à + 7 a substituées

dans la seconde équation (c), donneront deux valeurs de », d’où l’on tirera y et z.

"89. Autre méthode dans le cas des coefficients con-

stants. — Lorsque les derniers termes X,,::., X,, des a * 2 F équations (1} manquent, on remarque d’abord que la

somme de plusieurs systèmes de valeurs de y,...;u, qui

satisfont séparément à ces équations, y satisfait aussi, et

que’, par conséquent , il suffit de trouver m2 systèmes renfermant chacun une constante arbitraire.

Pour cela on établira des rapports déterminés arbitraires entre les variables, en posant FE Pr 2 6

d'où résulteront les équations suivantes :

d a+ y (A+ Bat... +Pu)=o,