II
Pour que ces équations s'accordent, on aura les m—1
conditions
A+ Ba +...+Pip—a(A; + Bia+...+Pip),
Ant Baa +...+ Pau = p{(A; Ba PP
ou, en introduisant une nouvelle inconnue — & qui re-
présente le facteur commun à tous les seconds membres,
À, Brestt +. Bil=108
(61 AtBatk..+tPu=— aa, 7) ee" pv" . 26 "ln : ven Pen An + Ba +... + Pau —=—2@p.
Si des nm — 1 dernières on tire les valeurs de &, 6, ,p, on reconnaitra, comme dans le cas précédent, que l’équation en a sera du m°"* degré: et il serait facile de prouver l'identité de ces deux équations en a, d’après la forme des équations (3) et (6).
Pour chaque valeur de a on aura un système de valeurs de «,6,...,u, etil ne s’agit plus que de connaître y, qui sera donné par l'équation
dy
+= — OY —= 0, dx
d'où y = Ce**, GC étant arbitraire; on aura donc une solution des équations proposées, en prenant
y Ces, 0 — CNE. ONNPENENSEEE
On aura m systèmes semblables, en prenant pour a ses m valeurs; ils renfermeront chacun une constante arbitraire, et, en les ajoutant, on aura la solution générale
de la question, exprimée par les formules suivantes :
2 — 8A ei TX # Ce enr D er te LIRE a" ê (5) Ce ent LC LS Craft} Lu — C; he + Cu ea +... + Ce Fm ee”: :
Si plusieurs des racines 4,, &,,..., a, devenaient égales, on agirait comme on l’a déjà fait en pareille circonstance,
et les valeurs de y, z,..., u contiendraïent toujours m constantes arbitraires.
86. Il est facile de passer de ce cas à celui des équations (1) : il suffit, pour cela, de substituer aux constantes C;, C:.,..., C, des fonctions de x, comme nous l’avons déjà fait dans une circonstance analogue.
Différentiant les équations (7) et reportant les valeurs
d du » : ?
de - ue — dans les équations (1), il ne restera que les T dx
termes affectés des différentielles de C,,..., C,, et les seconds membres X,,..., X,.
On aura ainsi
a,x C a,x 4 C: amx À Cm x dx l dc FPS nié 1C d'C: d'C ‘AT Ace A3 X 2 ; Am T RE à LL dx F dx Sn one dx ü
d'C d'Cn
On tirera de là les valeurs de 3.) en fonction
ar de x; et, en les intégrant, on connaîtra C;,..., C,.. Si on les substitue dans les équations (7), on aura les solutions générales des équations (1), renfermant les #1 constantes qui proviennent des quadratures relatives à C;,..., C,.
