CHAPITRE XII

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AU MOYEN DES INTÉGPRALES DÉFINIES.

93: Nous avons donné des moyens pour ramener, dans certains cas, l'intégration des équations différentielles à celle de fonctions de x ou de y seulement. Quand cela n’est pas possible, on cherche quelquefois à ramener le problème à l'intégration d’une fonction renfermant x et une autre variable, par rapport à laquelle on intègre entre des limites déterminées, en regardant x comme une constante. Cette forme d’intégrale définie, donnée à y, est souvent utile dans les questions de physique mathématique, et elle le serait bien davantage encore si l'on avait des Tables qui fissent connaitre la valeur de cette intégrale pour une valeur quelconque de la constante x qu’elle renferme.

94. Un moyen que l’on emploie souvent pour obtenir ainsi la valeur de y consiste à développer d’abord cette valeur en série, et à sommer cette série, lorsqu’on peut reconnaître une relation simple entre son terme général et l'intégrale définie du terme général du développement d'une fonction connue de x et d’une autre variable, par rapport à laquelle se fait l'intégration. C’est ce que nous allons éclaircir par des exemples.

Soit l'équation

(1) MP CUMmOAT

/ dx! Led

qui se présente dans beaucoup de questions de physique et de mécanique. En l’intégrant par la méthode des coefficients indéterminés, on obtient les deux séries suivantes, qui fournissent chacune une intégrale particulière :

z Fe LT +3 ce LT+S 2 pr) D BEL Le nu ns l'en Ce