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Eee (ab! — ab) sin A.

39. Exemple d’une loi particulière pour les bases des parallélogrammes élémentaires. — Comme les bases infiniment petites des parallélogrammes ne sont assujetties à aucune loi nécessaire, on choisit celle qui . semble devoir donner les calculs les plus simples.

Dans un des exemples précédents , nous avons supposé ces bases égales; dans d’autres, nous n’avons eu besoin de supposer aucune dépendance entre elles. Nous allons donner des exemples où la sommation devient très-facile quand on suppose que les abscisses des points de division sont en progression géométrique et que, par suite, leurs différences, ou les bases des parallélogrammes, forment une progression ayant la même raison. Ce procédé est dü à Fermat,

Soit l’équation

Y = pa”; dans daquelle nous supposerons m quelconque, positif ou négatif; ce qui renferme les paraboles et hyperboles que nous venons de considérer, Cherchons l'aire comprise entre un arc quelconque MM { fig. 10) de la courbe, les deux ordonnées extrêmes MP , M’P' et l’axe des x; et, pour plus de simplicité, supposons les axes rectangulaires. Soient a, b les coordonnées de M; a', b' celles de M’. Partageons PP’ en n parties tendant vers zéro, et telles, que les abscisses de tous les points de division forment une progression géométrique

MBA Tag ERA,

on aura

RQ:

de sorte que z étant déterminé, g s’ensuivra, et g tendra vers l'unité lorsque 7 croîtra indéfiniment ; de sorte

que la distance de deux points consécutifs tendra vers zéro. L'expression générale de cette distance sera

ag't'— ag" où a(g —1)g".

Elles formeront donc une progression géométrique ayant pour premier terme a (q —1) et pour raison q.

= Or ces distances doivent être multipliées par les ordonnées successives qui seront aussi en progression géométrique, puisqu'elles ont pour expression générale px”, et que les valeurs de x que l’on considère sont en progression géométrique. Les rectangles élémentaires auront donc pour mesure le produit des termies correspondants de deux progressions, et formeront, par conséquent, une nouvelle progression. On pourra donc avoir l’expression de la somme de ces rectangles, et il ne s'agira plus que de calculer la limite de cette expression.

La base du rectangle dont la première abscisse est ag’ sera a (q —1)q", sa hauteur pa”q"” et sa surface pa"*+1(q —:1) g("+1r, La somme de ces rectangles sera

narrr (q —1) [te . gs .n goes A A 7e GET

ou, en sommant cette progression géométrique dont la

> 1 raison est q”"*!, [y rELs 1|

m4 1 LE pa (q 1) gr =:

ou, à cause de ag” = a’, p (ami art) 7 Ar .

4 F gui ES 1

il ne reste donc plus qu’à trouver la limite du rapport q —1 CE OL aucune difficulté. Nous distinguerons deux cas, suivant

que mm + 1 sera positif ou négatif, 1°. Soit d’abord mn +1 positif et représenté par le

» lorsque q tend vers l’unité; ce qui n'offre

. r + r) L rapport de deux entiers quelconques — il s’agit de : S$

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 55 4% q —1 | trouver la limite de » Quand q tend vers 1, ou,

ge | e E— 1 :

en posant g —1t, celle de NT RE quand t tend luimême vers l'unité. Remplaçant t par 1 + &, à tendra

vers zéro , et le rapport précédent devient

s(s—1) SAR ——— + ,,., + af

nr 1 Un Dal, ce

Divisant par « les deux termes, et faisant « — 0, on aura la limite de la fraction, qui sera

— ou .

r nm + I

Donc l’aire cherchée sera

P DAT sis arr.)

a" b' — ab OÙ ui er sè HI

2°, Soit maintenant mn +1 — — —; il faudra trouver

la limite de Po

Het J

Or g° a pour limite 1, et, d’après le calcul précé-

he SAT ( dent, le second facteur a pour limite - ou —

m +1 4 La limite de la fraction en question est donc

et l’aire aura encore pour expression

p (a! = amx) a lab

QU et nm +I nm +1

Remarque. — L'aire dont nous venons de trouver l'expression étant la limite de la somme des rectangles ayant pour mesure yh ou px"h, h désignant la différence infiniment petite de deux valeurs successives de x, suivant une loi arbitraire, il s’ensuit que la limite de la somme 2x” h, lorsque x passe de la valeur a à la valeur a’ par. degrés infiniment petits quelconques À, a pour valeur, quel que soit nr,

Pr Lee 5 anti Fm TN

Si l’on fait a — o et que m +1 soit positif, cette

expression se réduit à

té a m+i

Mm+EI

36. Cette formule s'applique à toutes les valeurs posiüves ou négatives de m, excepté la valeur particulière

Re O0 +.

— 1, qui lui donnerait la forme < Mais il est facile de

trouver la formule qui correspond à ce cas, en cherchant

[m+1 m+i SE k a a la limite vers laquelle tend l’expression er 7 m

lorsque l’on fait tendre m vers — 1.

Divisant par a”*!, dont la limite est l'unité, et remplaçant m +1 par u, il s’agit de trouver la limite de l'expression

quand u tend vers zéro.

Posons | — | —r+4x, tiendra vers zéro, et | expres-

p LMP x œ Ve sion précédente devient -, dont on éliminera u au moyen U .

de l’équation qu’on vieni de poser, en introduisant la nouvelle variable #. On en tire, en prenant les loga-

rithmes, !

wlog= = log(1 +2), OUT HU PTE, au log — — a!

log(1 + x)

=——— qui peut se mettre sous la forme re + a)

ou eee

10 I œ œ 8 | log(1+ x)” Mais on à vu dans l’{/gèbre (voir Note 1°) que lorsque « } tend vers zéro, suivant une loi quelconque, (1+ «)* tend vers une limite déterminée, que l’on désigne ordinairement par la letire e, et qui n’est autre chose que la base

du système de Néper, dont la valeur incommensurable est