CHAPITRE XVII
EXPRESSION D UNE FONCTION PÉRIODIQUE ARPITRAIRE EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE, AU MOYEN D'INTÉGRALES DÉFINIES.
124. Les applications de l’analyse aux phénomènes physiques ont.conduit à la recherche du développement d’une fonction quelconque en séries, dont les différents termes étaient proportionnels aux sinus ou cosinus des multiples de la variable.
C'est le problème des cordes vibrantes qui a donné lieu à la première question de ce genre. Daniel Bernoulli représentait l’état initial de la corde par une série trigonométrique dont il ne déterminait pas les coeflicients. Euler en donna l'expression au moyen d’intégrales défimes; mais c'est principalement à Lagrange et à Fourier que l’on doit d’avoir fixé le sens exact de ces formules.
Avant de donner la démonstration rigoureuse, nous -commencerons avec Euler par celle qui se présente le plus naturellement, et qui est fondée sur la méthode des coefficients indéterminés. Soit F (x) une fonction quelconque de x, et posons
F(xz) =B+(A;sinzx + B, cosx) +...
+ (An sin 1x + B, cosmx) +....
Si maintenant on veut déterminer le coefficient A,, de . sinmx, il suflira de multiplier les deux membres par
Sinmxdx et di intégrer | entre deux limites, -ayant pour différence 27. Tous les coefficients : inconnus disparaiiront, excepté À,,, parce que l’on a F
a+ 2T ‘ “SIN NX COS 2X dx = 0, HU 4 :
ana di 4 . SIN MX SIN ATX = 0; $
d’où l’on conclura
F{x) sin mx dx , | a = < ; I a+ 27 : ’ :
ARE I Lf 7 F{x) sm mx dæ&s a . A
a+ 2T T de sin? 724 dx d; L2 - 1) A * s
On trouvera de même : a+2T :
Bn = — fs F(x) cosmxdx.
Il faut excepter le'cas de m— 0, qui donne:
a+ 2T ne. ê ÿ vf COS MT ENR .. :
pour toutes les valeurs entières de 7, ÉXCRRIÉ 0, qui
ha+oT [ Ag =S:2 1e a É'
On connaît de ceite manière les valeurs des coefficients
parce que
donne
quand le développement est possible; mais il est essen® tiel de déterminer les conditions de sa possibilité er lest
"APE ER = Re un Ÿ
limites entre lesquelles la fonction est par cette série essentiellement périodique.
C’est pour cela que, regardant ce qui précède comme une simple induction, nous allons déterminer rigoureusement ce que représente une pareille série.
125. Si l’on désigne par u un arc quelconque, on sait que l’on a
sin(m + !)u
— + COS u + COS QU + COS Bu + ...+ COS NU = — “a ; 1 . 2 SIN + 4
Changeons w en. x—«, multüplions par une fonction arbitraire F (x) et intégrons, par rapport à #, entre deux limites RAC * a et b; nous aurons
fr dés fr F (x) cos (x — «x jé te a) cos 2 (x — à) d'a +..
b b smMin +; AT AA com(e— «as =! f Fe) EE da ; | à PARA ESE
F F (æ) sin (re + se ES A Sd à sé d'u, «
2 sin+(æ—x) On voit que rien ne serait changé dans les deux membres si l’on augmentait x d’un multiple quelconque, positif ou négatif, de 27, et que, par conséquent, ils représentent . une fonction périodique dont la période est 27; quel que soit d’ailleurs le nombre entier m. Or, lorsqu'on fait croître ce nombre indéfiniment, le second membre tend vers une limite qu’il est facile de déterminer, et le premier membre sera le développement en série, de la fonction : qui exprime cette limite.
On remarquera que: l’on peut se borner à considérer les valeurs de & infiniment voisines de celles. qui rendent
sin = (x — x) = 0, vu que l'intégrale tendrait vers zéro;
4 x * | \ à mesure que 72 augmenterait, pour tout intervalle dans lequel sin = (a — x) resterait une quantité finie.
En effet, lorsque m2 est devenu extrêmement grand;
I | (m + :) (a — x) varie de 2 x quand « varie de la quans
a | 27 vtr üté extrêmement petite an dans cet intervalle, m1 %
———— ne varie pas sensiblement, tandis que:
sinz(æ— x) |
k I à NIQUE | Sin [m += (x — x) da est zéro. D'où il suit que tous
les éléments de l'intégrale, correspondants aux éléments
- de la variable &, sont infiniment
infiniment petits
petits par rapport à ves derniers; et par conséquent l’in= F(a) sint(æ—x) tend vers zéro, à mesure que #7 augmente indéfiniment. On peut donc se borner à considérer les valeurs de « qui difiè-
tégrale prise dans un intervalle où reste fini,
NE k at rent infiniment peu de celles qui rendent sin= (a— x) —=0,
et qui sont les suivantes :
Lot rt scivur os 224
Soit x une valeur quelconque comprise entre a et b, et supposons que b — a soit tout au plus égal à 27; on con sidérera seulement es valeurs infiniment petites de &—%;
CT 1 on pourra alors remplacer sin-(x—x) par (a —x F Ï 3 )P x | } et le second membre de l'équation (1) devient
ei sin(m+i)(x—x)
d(a — Es}
£ étant infiniment petit; ou, en faisant à — x — 0, .
Mr FE : t freres,
Si F(x) est continue dans le voisinage de x, on pourra remplacer F (x +) par F{x), et l’on aura seulement
; : ex, i (3) Fa) | A PARLE
et cette intégrale n'ayant de valeur sensible que pour des valeurs infiniment petites de w, lorsque mn croît indéfiniment, on peut, sans inconvénient, étendre ses limites jusqu'à— © et + , ce qui facilite l'intégration, et l’on trouve pour résultat z. La limite du second membre étant rF(x), on a la formule suivante :
Gr (x)= Fun F (a de + D fr F(a)cosm(x— «)de,
qui donne le développement de F{x) suivant une série dont le terme général est de la forme
A, Simmx + B, cosmx.
Il nous reste à faire quelques observations propres à en fixer le véritable sens.
126. Si l’on donne à x une valeur telle qu'entre a et b il ne tombe aucune des valeurs renfermées dans l’expression x+ 2ÂT, k étant un nombre entier quelconque qui peut êtré zéro, l'intégrale (2) est nulle, et la série a pour limite zéro, pour cette valeur de x. Le lieu qui aurait pour ordonnée le second membre de l'équation (4), divisé par 7, se composerait donc d’abord du lieu de l'équation
