APPLICATION A LA MESURE DE QUELQUES VOLUMES
Solides de révolution.
42. Paraboloïde de révolution. — Une parabole tournant autour de son axe AX (fig. 14), on demande le vo- : lume engendré par l’aire comprise entre un arc quelconque AB, l’ordonnée BC et l'axe AC.
Soient a, b les coordonnées de B, et y? = 2px l'équation de la parabole; partageons AC en un nombre »# indéfiniment croissant de parties égales «. Le volume cherché sera la limite d’une somme de cylindres ayant pour hauteur à, et pour bases les cercles ayant pour rayons les différentes ordonnées MP de la parabole menées par tous les points de division de AC. L'expression générale du volume d’un de ces cylindres est ry°« ou 27pra;
ape æ° $ leur somme 2p2xa a pour limite 2pT = ou pra?.(Voir
On peut donc dire que ce volume est égal à celui d’un cylindre qui aurait pour base le cercle dont le rayon est AC, et pour hauteur le demi-paramètre. On peut encore donner une autre forme à l’expression précédente, en y
“ b? 1 rb'a remplaçant pa par son égal Se elle devient > et est
égale à la moitié de la mesure du cylindre qui aurait BC pour base et AC pour hauteur, ou à trois fois la moitié du cône qui aurait même base et même hauteur.
C'est sous cette dernière forme qu’A rchimède a présenté .
cette proposi tion.
42. Segment d’ellipse tournant autour de sa corde. — Soient une ellipse ayant pour équation
2 à Le b°? x° — «a? Œ,
D'D (fig. 15) une corde parallèle à l'axe B’B, 2/7 sa longueur, d sa distance AE au centre, et A l’aire du segment DCD' qui tourne autour de sa corde fixe DD’ ; proposonsnous de mesurer le volume engendré V. Nous Îe considérerons comme limite de la somme des cylindres qui auraient pour hauteurs les subdivisions infiniment petites égales de DD, et pour bases les cercles ayant pour hauteurs les perpendiculaires MQ abaissées sur DD’ par les différents points de l'arc D D’, qui correspondent aux points de division de DD’. Soïent 7 le nombre des points de division de DE et & leur distance; la mesure d’un quelconque des cylindres infiniment petits sera
xm(y—d}a on r(y’— 2dy + d'}u, et leur somme peut se décomposer comme il suit, rnE(y?+ d'}u — 2rd3Ya,
LE ou, remplaçant y* par b——,
LLALARISE ET ’ mr Da'a —2rc 2Y x}.
x (b?+ d') £a — Or 2 Ut me y = À:
et, d’après la remarque du n° 35,
him. >æx? , im, ZT —:
On aura donc , 2rb?P V — 2rtl(b? + d?)\ — TE, TERRE LA \ “ à ) Es 3 «4?
QT
68 LIVRE !. | On aurait le volume de l’ellipsoïde tout entier en fai-
sant d—0o, l[— a, et l’on trouverait ainsi : . VE À rab'; et ss b—a;ona Àka pour la mesure du volume de la
sphère dont le rayon est a.
44. Volume du tore.— On appelle tore le solide engendré par un cercle qui tourne autour d’une droite extérieure, située dans son plan.
Soïent O (fig. 16) le centre du cercle générateur, R son rayon , AO — a; l’équation du cercle sera
j'+(z—af=Rk, et le volume est la limite de la somme des volumes engendrés par les rectangles MNIK , qui sont les différences
des cylindres infiniment petits engendrés par les rectangles QI, QK. L'expression générale de cette différence est
x (QN — QM')MI= #(QN + QM)(QN — QM)MI = 2r74a.MN.MI = 27ra.MIKN.
Or la limite de la somme des rectangles MIKN est l'aire du cercle. Donc le volume du tore est-égal à la surface du cercle générateur multipliée par la circonférence décrite par son centre.
45. Ellipsoïde de révolution. — Supposons qu ’une ellipse tourne autour de son axe AB — 2 a (fig. 17), e proposons-nous de calculer le volume du segment ché par un plan perpendiculaire à cet axe, mené à une distance AD — d du sommet A.
Soit l'équation de l’ellipse rapportée au sommet A
2 b° Aer (2ax — x?),
le volume sera la limite de
rij'azr-;2(2ar—ax)e:
Soit 7 le nombre des points de divisio de AD, on aura js, je À
on retombe ainsi dans des calculs qui se sont déjà plusieurs fois présentés, et l’on trouvera (n° 35)
: d : d hm.>za——-: lm.>za— —;) 2 3 d’où À d — d lim. 2(2 ax — x°) « = ad’— 7 — FRE,
On aura donc pour expression du volume cherché V,
ve - 14 d):
Ce résultat coïncide avec celui d’Archimède. En effet, il énonce la proposition de la manière suivante :
Le segment de l’ellipsoïde est au cône de même base et même hauteur, comme le demi-axe de l’ellipsoïde ajouté à la hauteur du segment complémentaire à l’ellipsoïde est à la hauteur de ce dernier.
Or on aperçoit facilement que les deux formules sont identiques. |
46. Hyperboloïde de révolution. — Soit l'équation d’une hyperbole y*? — TE 2ax) rapportée à son
sommet À (fig. 18). Supposons qu'elle tourne autour de son axe transverse, et proposons-nous de calculer le volume V détaché par un plan perpendiculaire à l’axe
mené à une distance AD — 4. Il est la limite de 27 y « x L?
ou de — 2 (x +2ax)a Are | Or on a, d’après le n° 35 déjà cité plusieurs fois, L d d Him.ira= =" him re 2 a. 3
Donc
r OP0f ds b? d° N= — (ad + 5) = (3 a + d).
Archimède, dans la solution qu’il a donnée de ce problème, cherche le rapport du segment de l’hyperboloïde au cône de même base et même hauteur, et parvient à la formule suivante, qui donne le même résultat :
Le volume du segment est à celui du cône de même base et même hauteur, comme la hauteur du segment, plus trois fois le demi-axe transverse, est à cette même hauteur augmentée de l’axe transverse.
47. Remarque. — Si une surface dont l'aire est A tourne successivement autour de deux axes fixes parallèles U, V (fig. 19), situés dans son plan, les volumes engendrés auront pour différence le produit de l'aire A par la circonférence dont le rayon est la distance d des deux axes. AN
En effet, soit une perpendiculaire quelconque QPMM' aux axes, qui coupe ceux-ci en Q, P, et la courbe en M, M'"Soient MP=— x, M P= zx, MORE & la distance de OM à la parallèle infiniment voisine.
Les volumes engendrés autour des deux axes sont les limites des deux sommes suivantes :
rmE(x?—x')a, rEI(X°7—X')a, et COmmIe on a
Ki x + 2, Xe 2 TON
à CPAS A … ha T4 t
il s'ensuit f ME p/2 2 ! è X?— X'— x x +od(x — x);
donc la différence des deux sommes est 2 r d2(x'— x) « ou2rd2MM!.c.
Mais ZMM’. « a pour limite l’aire A; donc la limite de la différence des deux sommes, ou la différence de leurs limites, et, par conséquent, des volumes engendrés, est 2 r d A, comme nous l’avions annoncé.
48. Volumes engendrés par des paraboles ou hyperboles d'ordres quelconques.— Considérons le volume engendré par la révolution autour de l’axe des x, d’uné courbe représentée par l'équation y = px”, dans laquelle on suppose 72 quelconque en valeur et en signe, et qui peut, par conséquent, représenter des paraboles ou hyperboles de tous les ordres.
Le volume compris entre deux plans perpendiculaires à l’axe x et correspondants aux abscisses a, a’ sera la limite de Zry°«, « représentant une quelconque des subdivisions infiniment petites de l'intervalle &'— a. En substituant à y sa valeur en x, il faudra trouver
rp° lim. >xa. “
Or, d’après la remarque générale du n° 35, on a, entre les limites &, a’, anti Qt
lim, 2x" a — 2m + I
Le volume cherché a donc pour mesure
(amet in) rb?a —rba
On l’obtient donc en divisant par 2m + 1 la différence des deux cylindres ayant pour bases les deux bases mèmes du solide à évaluer, et pour hauteurs les abscisses correspondantes.
Solides non de révolution.
49. Segment d’ellipsoide. — Rapportons la surface à des axes parallèles à un système de diamètres conjugués dont l’un passe par le centre de la base du segment. Prenons ce dernier pour axe des x, et pour origine l’extrémité qui appartient au segment. L’équation de l’ellipsoïde sera
NE 2 2 ax — x?
PORN Soit AD — d {fig. 20) l’abscisse du plan de la base du segment qui est parallèle au plan YZ. Nous considérerons le volume du segment comme limite de la somme de cylindres ayant pour bases des sections parallèles à YZ et pour hauteurs les distances infiniment petites de ces plans successifs. Une quelconque de ces hauteurs s’ob-
tiendra en multipliant la partie « correspondante de l’axe AX par le sinus de l’angle 0 que ce diamètre AX de l’ellipsoïde fait avec le plan COB des deux autres conjugués. L’aire de la section MPN correspondante à un x quelconque AP sera r.MP.PN sin , ® étant l'angle des diamètres OB, OC. En remplaçant MP, NP par leurs valeurs en x, on trouvera pour expression d’un quelconque des cylindres élémentaires , -
r bc . , — sin sinw.(2ax — x?) « a?
Le volume cherché V peut donc être représenté comme il suit :
x bd 2É a V — —— sin 0 sinvo.lim. > (2ax — x!) a, C4 A
lorsque x passe de o à d par degrés, égaux ou inégaux, mais infiniment petits, représentés par «.
On aura encore, comme précédemment, d’après le n° 35, &d(3a — d)
Ÿ (2 AX — x?) x — Fu
et, par conséquent,
r bcd'(3a — d)
sin 0 sin.
Si l’on suppose d = 2a, on aura pour expression du volume entier de l’ellipsoïde,
: rabc sin0 sinw, ce qui peut être traduit de différentes manières, en observant que abc sin9 sing mesure le volume du parallélipipède construit sur les trois demi-diamètres conjugués , et que tbc sino.2a sinô mesure le cylindre circonscrit à l’ellipsoïde, ayant les arêtes parallèles à AX, et ses bases parallèles à YZ. Une des conséquences de l’expression précédente est que ce parallélipipède et ce cylindre ont leurs volumes constants, quel que soit le sis des diamètres conjugués.
L'expression (1) comparée à celle du volume du cône ayant même base que le segment, et son sommet en À, donne un énoncé semblable à celui qu’Archimède a fait connaitre dans le cas de l’ellipsoïde de révolution.
On trouverait des résultats analogues aux précédents pour les hyperboloïdes et paraboloïdes quelconques ; nous ne croyons pas utile de nous y arrêter.
50. Onglet cylindrique. — Considérons un cylindre droit dont la base soit le cercle ABC ( fig. 21); par un de ses diamètres AB, menons un plan quelconque qui coupe la surface du cylindre suivant l’ellipse ABD , et proposons-nous de calculer le volume de l’onglet compris entre ABD et ACB.
Supposons le rayon OC perpendiculaire à AB; D le point de rencontre du plan sécant et de l’arête menée
mn C;soientOC=R, CD = z:
Suivant la méthode générale, nous regarderons le volume comme limite d’une somme de cylindres ayant pour bases un système de sections parallèles, et nous prendrons ces plans perpendiculaires à AB.
Soit MPQ un quelconque de ces plans; faisons AP PO Ty on AauTe
J°—2Rz— 21% LM MONES CHENE d’où
ky MQ —= Fo
La section MQP a donc pour mesure
Ry?: D —) ou —(2Rz— x).
2R 2R ) Si donc nous désignons par «& la distance infiniment
petite du plan de cette section au suivant, le volume cherché V aura pour mesure
PRE à 2AR° V= — lim.z(2Rzx — x!) a = 2R ( ) 3 et comme 2R°? est le rectangle circonscrit à la base ABC de l’onglet, le volume de ce dernier est égal à celui de la pyramide qui aurait ce rectangle pour base et son sommet en D.
