BE ET AT
Le développement du premier membre fera connaître immédiatement les coefficients À, B, C.... Or il est facile de démontrer que tous ceux qui multiplient les-puissances paires de Ax sont nuls. Pour cela, nous ferons passer le
terme —: dans le premier membre, il suffira alors de LE
faire voir que l’expression résultante jouit de la propriété “| J
de changer de signe sans changer de valeur lorsque l’on
y change Ax en — Ax;'ou, en d’autres termes, que l’on
'a identiquement
ce qui se vérifie immédiatement.
On a donc
Az | d'u du
720 das \ae |}, its Az 2.3.4"
AT £ > etc., se nomment les z2ombres de Bernoulli.
Leurs valeurs sont
. Les coefficients numériques qui multiplient DISQUE
Pos I I 1 5 re 3 = —— 3 ds
La formule de B,,, est assez compliquée.
En faisant usage de ces nombres, la formulé (1) de-
ji RER CRE Li Ax J; 2 1.2 | dx dx }
A x? "du: LE c] Vr32. 44 | dr WAR
vient
Un
Sommation des séries.
230. Si l'on considère la suite des valeurs que prend une fonction u de x, lorsque x croit par degrés égaux, de puis une certaine valeur jusqu’à une autre, on aura uné { série dont la différence sera la fonction w, dans laquelle ; on donnera à x sa dernière valeur augmentée de A x.
En effet, posons + * + à
æ—=nAx, et Su =u+u+u ++ uw,
nt ; bd SUR | | le premier terme u correspondant à x = 0. 1] Si l’on augmente x de A x, n augmente de x, et la série augmente de u,8; elle est donc renfermée dans l’expres-"
sion générale de Zu,,,, etl’ona Sun = En te, ‘OÙ, Su Tu ru re,
la constante arbitraire devant être déterminée par la con-. dition que les deux membres soient égaux pour une certaine valeur de n.
Si l’on PIRE les accroissements de la variable é égaux | à l’unité, ce qu’ on peut toujours. faire par un chasses ment de Veble. on aura
Su = DüUy+uüz +C—= Ur He, ï
Appliquons cette formule à la recherche de la somme de quelques suites.
231. Supposons d'abord u,—x", c'est-à-dire cherchons la somme des puissances 5» des nombres entiers, depuis o jusqu’à x; on trouvera, en faisant usage ‘de lan formule que nous avons donnée pour 2x”, ét observant que la constante doit y être supposée nulle, |
Lt ï ÆiT+I SR rot 8 pe M ge Lo EE :
2 2 AT. a
TUT., D " LS ÿ 1e :
eu "in 0
Sa 1+4+9+... am pa + a +re -
sux(r+1)(2x + 1)
