LA — {| — —1 EE

u désigne la valeur de la fonction, pour x = o; et les va= 1 leurs de x croissent pes intervalles constants égaux à Ax.. 3 Cette série se termine à À"u si la différence de l’ordre » est constante. 8 |

Or, si l’on donne les valeurs u, u,, 4,..., u,, et, par suite, u, Au, A°u,..., A"u, on pourra se proposer de trouver la fonction u, par la condition de reproduire les valeurs particulières uw, u,,..., u,, lorsqu'on donnera à x

Ps.

\ Ÿ db CR 4 T4 ;

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. 31 9 - les valeurs o,@x,.…; n Ax, et, de plus, d’avoir sa différence n°" constante , ce qui simplifiera la formule.

Ainsi la formule (1), arrêtée à Au, donnera pour u, une fonction du degré m en x, qui satisfera aux conditions demandées. Et, si on la considère comme exacte, elle fera connaître les valeurs de u, correspondantes à une valeur

arbitraire de x. Mais il est convenable de ne l’employer que pour des valeurs comprises entre o et 7 Ax, à moins que l’on ne sache que les différences des ordres supérieurs à n peuvent être négligées sans erreur sensible.

Si la première valeur w de la fonction correspondait à x = x, et non à x —0, la fôrmule (1) ne subsisterait plus, et l’on devrait y remplacer x par x — x.

236. Lorsque l’on connaît u, Au,..., A'u, et que A"u est constante, on formera chacune des diverses valeurs de A"! u en ajoutant A"u à la précédente. On obtiendra de même chacune des valeurs de A"? u en ajoutant à la précédente sa différence, et ainsi de suite, jusqu'aux diverses valeurs de u, depuis la première jusqu’à l'infini.

Ce procédé est employé pour la formation des Tables, soit d’aprês un certain nombre de termes connus entre lesquels on veut en placer d’autres, soit d’après une équation exacte, mais d’une application peu commode. .

237. Quelque rapprochés que soient les termes consécuüfs d’une Table, on a souvent besoin d’en considérer d'intermédiaires, et l’on peut, la plupart du temps, considérer les différences secondes comme nulles. Dans ce cas, en supposant la valeur de x comprise entre x, et Lo + Ax, la formule (1) donnera, en y remplaçant x Par ZX — T5,

TZ — To

Uz = U + Au.

AW

Si u, était donné et que x fût lPinconaué el ürerait delà

” Uy— U . PSE RTS EN kRs

Si l'on ne peut négliget que les différences troisièmes, on. prendra un terme de plus dans la formule (1). Dans ce cas, la formule ne donneraït pas aussi. facilement x d’'après ,, parce que l'équation est du second degré en x : la difficulié serait encore bien plus grande si l’on prenait un plus grand nombre de termes. On emploierait alors les procédés d’approximations que fournit la théorie des équations numériques. # | 4

238. L4 formule (1) suppose que les valeurs de x crois- | sent par degrés égâux, ce qui n’arrive pas toujours. Nous M allons faire connaître une formule qui donne la valeur 1 de la fonction, lorsque l’on connaît les valeurs &, 4 ; U,..., ü, qu'elle prend quand x a les valeurs arbitraires |

T; Ti Las (ga A | Lne

Nous prendrons encore une fonction entière et rationnelle de x, de degré n; elle renfermera 7 + 1 coefficients M MdétÉtSnés, et ï on pourra , par conséquent, l'assujeutir k aux n + 1 conditions données. air Soit donc us —=a+60rx+yrx +...+uz, on aura is .

U—=a+6x, + 1% +. + px NN pre D'après la théorie des équations du premier degré, les à valeurs de x, 6,..., a contiendront w;, u1,..., u, en fac" teurs à leurs différents termes, de sorte que u, pourra se mettre sous la forme

= X Us + XyU + Ko Es XI.

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, 301 Or u, se réduit à u, pour x =; on y satisfera donc si X devientalors égal à r'et si X,, X,,..., X, deviennent nuls, c’est-à-dire s'ils sont divisibles par x —x4. Il en serait de même pour chacune des autres valeurs de x; on prendra donc pour X le produit d’une constante par tous les facteurs x — 2x0, X—21,..., x—x,, excepté x —x; pour X, le produit d’une autre constante par les mêmes facteurs, excepté x — x, ; et ainsi de suite. Par 1à on voit qu'en substituant chacune des valeurs de x, il ne restera que le terme où entrera la valeur correspondante de u, ; et il ne reste plus qu’à rendre égal à l’unité son coefficient. Soit x, une quelconque des valeurs données de x, et u, la valeur correspondante de w..

X, renfermant les facteurs x — x5,..., x — x, excepté x — %,, il est évident que, si on le prend égal à ce produit divisé par la valeur que prend ce même produit quand on y fait x—x,, X, se réduira à 1 pour x = x,..

Les quantités X, X,,..., X, seront donc ainsi déterminées de manière que l’équation du degré n en x qui donne la valeur de u, soit satisfaite par les 7 1 couples de valeurs données, et aucune autre expression du même degré ne pourrait devenir égale aux mêmes valeurs Us...) U, pour les mêmes valeurs de x, sans coïncider avec elle,

La formule cherchée sera donc

P (e—a)(e—r)..(e— 2) F $ (Xo— Ti) (xo— T2) (Xo— Æn) (æ—m)(x— 2)...(x —2,) u nie, à (2) a (ti —2)(xi— x) . (x æn) (æ De” Lo) . (x PET TL) + Un (za x} ( a. Tu)

Lagrange à donné une autre formule d’interpolation, + A 21

M te TE ET" ART CAE % 7 La ÿ Fee ARS MA age à FE PP Le FA à RAS

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