COURBURE DES SURFACES

241. Une surface ne pouvant avoir, en général, un contact du second ordre avec une sphère, on ne peut rapporter la courbure des surfaces à celle de la sphère, comme on a rapporté la courbure des lignes à celle du cercle. Pour se faire une idée de la courbure d’une surface en un de ses points, l’un des moyens qu'on emploie consiste à faire des sections dans cette surface par des plans passant par le point que l’on considère, et à déterminer la courbure des lignes ainsi obtenues. Les sections qu’il paraît le plus naturel d'examiner sont celles qui sont faites par des plans normaux à la surface : c’est par elles que nous commencerons; nous verrons ensuite comment leur courbure détermine immédiatement celle des autres.

Soit z = F (x, y) l'équation de la surface ; nous supposerons, pour plus de simplicité, que l’on ait choisi le plan tangent au point que l’on considère, pour plan des x et y, et la normale pour axe des z; les propriétés indépendantes des axes, que nous découvrirons ainsi , auront le même degré de généralité que si le système d’axes avait été tout autre.

Un cercle situé dans un plan passant par l'axe des z, et tangent, à l’origine des coordonnées, à la section faite par ce plan dans la surface, aura pour équations

ÿ—mx, + +r2—-2kRz—=0; d'où x? (1 + m°) + 3 —2Rz—=o.

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Pour qu'il y ait un contact du second ordre avec la séce £

d?z tion, il faut que pr ait la même valeur dans Pine et D autre

courbe. Or la dernière équation différentiée deux fois donne |

A l’origine, on a

3 = O, es 0:

le fr d’où résulte #! PR D

| 1 | À I Le m* a CT SCT

F MPa T NS —— — CR EN où

1e m Re 0, RZ d'z hi | x

dx? à

d? z , | pue 2 OR . 5 , Lie 7 n'étant pas une dérivée partielle. Pour en obtenir la. CR +

valeur, il faut remplacer y par mx dans l'équation de la surface, puis différentier deux fois par rapport à x,'e

faire x, y, z nuls : on trouve ainsi, pour valeur de la dé = f: d?z ss, E<.

rivée totale —; à ax? N ’ ne r + 2sm+tm, | Em 16 4 Fe À . 7 . FX Ge Pa | . y #4 | r, s, t désignant respectivement les dérivées partielles 44

le Pi d?z dx?? dxdy dy°.

Le rayon de courbure R de la section normale aura à done 12

pour expression ; h

RER TE AR vol D

I SR EUR FES “ NALTÉ Â #0 à r + 25m + tn° DR

+ L NÉE ‘TS Ilrestera toujours fini etde même signe si l’on a s°—rt<o: la courbure sera donc toujours dans le même sens. Il de 4%

viendra infini et changera de signe sis? —71>>0; la cour-

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 327 bure changera alors de sens. Si s°— rt— 0, il devient infini sans changer de signe.