L< D FR

= + COS? à + — SIN “ R 7 p !

Si l’on désigne par la courbure d’une section quelconque, et par v’, v/ celles des sections principales, elles

R vons vu dans le calcul différentiel, et l'équation Per dente devient

; ; QE LEE CL: al seront respectivement égales à —> —; -» comme nous l’apr :ftà

(DA dv = v' cos a +2” sin?x;

d’où l’on voit que les deux courbures principales détermi- 4 nent celles de toutes les sections normales. 108 On déduit de cette équation plusieurs conséquencesimportantes : “a 1°, Si l'on mène par la normale deux plans également ‘72 inclinés sur le plan d’une des secüons principales, la cour bure des deux sections sera la même; 2°, Si l’on mène deux plans également inclinés sur les plans respectifs des deux sections principales, de quelque côté que ce soit. la somme des courbures de ces sections sera constante el égale à la somme des courbures des sec tions principales.

Car en les désignant par v et ?;, ON aura

v=v cos" +v"sin? x, v, —=v sin? a +v”cos? x,

d'où D+V =D + D”.

Si les deux anglés 2 sont pris dans le même sens, les

plans sont rectangulaires : d’où l’on voit que la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires entre elles est constante.

. ‘ t14 52e Si l’on fart « — poMmav— . Donc la cour-

bure de chacune des sections dont les plans partagent en deux parties égales les angles des plans des sections principales, est égale à la moyenne entre les deux courbures principales, et la sphère qui passe par les cercles osculateurs de ces sections donne la même somme que la surface, pour les courbures de deux sections normales rectangulaires. On voit encore que deux plans également inclinés sur un de ces plans moyens donnent des sections dont la somme des courbures est + v", puisque ces plans font des angles égaux avec ceux des sections principales.

244. Indicatrice.—Si, à partir d'un point quelconque d’une surface, on prend sur la normale une longueur infiniment petite, et que par son extrémité on mène un plan perpendiculaire à la normale, il coupe la surface suivant une courbe infiniment petite, que M. Ch. Dupin a considérée le premier, et qu’il a nommée rndicatrice. Toutes les propriétés que nous venons de démontrer s’en déduisent très-simplement, ainsi que beaucoup d’autres, qu’il convient d'étudier dans les ouvrages de l’auteur. ïl est facile de reconnaître d’abord que cette courbe est du second degré, si l’on néglige les quantités infiniment petites par rapport à ses dimensions; ce qui signifie que, lorsque cette courbe tend à se réduire à un point, à nresure que son plan se rapproche du plan tangent, une courbe finie qui lui serait semblable aurait pour limite une section conique.

En effet, si l’on prend la normale pour axe des z, l'é-

NS PR SE Re ee RENE dr et LU Pet 4h a e ï PTS A Ce Er RS 0 2) Ÿ ## d A 3 PERS in A Re ? ? Me 4 È # 2 $ ù PA PTT ei D - UT

330 rit BIVRE IV.

quation de LS RTE rapportée à des axes rectangulaire sera généralement ; Luis RE

2 Ta SCT ED) ENS

et l’on sait qu’on peui trouver dans le plan des x, y deux F axes rectangulaires particuliers tels, que le rectangle xy ne se trouve pas dans le second membre. En les choisis | sant, l'équation de la surface sera de la forme

ia Jobs 1 7 Z— SIT cour à + à + ...

On sait encore que si les coefhicients r', € sont inégaux, 1 i à n'y a qu’un seul système d’axes rectangulaires qui jouissen de la propriété de faire disparaitre le rectangle æy ; et que, s'ils sont égaux, il y en a une infinité. : ci

Si maintenant on fait z—«,c étant infiniment petit et qu'on se borne aux termes 1e second degré en x et y ;

on aura pour équation de la section, qui est l indiçatricQR (r) rx Hty} = 2, 4

G en équation qui représente une ellipse ou une hyperbole, | dont le centre est sur la normale. Pr

Soient À (fig. 7) le point de la surface, AN Là sa male, AO=— «, et BC l'intersection du plan de Pindicass trice par un plan normal quelconque. Le centre de cour bure de cette section est la limite de la rencontre de AN avec la perpendiculaire élevée sur le milieu de la cor

AC; ei si l’on mel R le rayon du cercle osculateur,

0€ aura R=—-—— ox QU en désignant par 2 À le diamètre BC. 2 [ss : | SOS l'indicatrice que nous supposcrons ellipüique, R — en

On conclut de là que Les sections dont les plans passe ront par les axes de l° indicatrice, auront la courbure maxi mum où minimum. Toutes les autres conséquences s'en

en à #

+ pi

PART TN ES 4 j f: s ; ri RE |

déduiront facilement, et l'expression de R en fonction de r, 5,1 s’obtiendra comme précédemment pour un plan quelconque ayant pour équation y —mx : car on aura

mn 2x(1+m*) HET, T + (m°

; ë svet, par suite aR = r + im? x P ‘

Si l’indicatrice était une hyperbole, le rayon de courbure deviendrait infini lorsque le plan de la section passerait par une de ses asymptotes, puis aurait une expression négative si l’on ne changeait pas de signe &. Il faudra donc, pour l'avoir positif, mener le plan de l’indicatrice de l'autre côté du plan tangent; ce qui montre que la courbure des sections a changé de sens. Les deux indicatrices que l’on obtient ainsi sont deux hyperboles conjuguées, et

. leurs axes réels correspondent aux sections de plus grande

courbure, parmi toutes celles qui sont situées du même côté du plan tangent.

Si l'on avait conservé le signe de l’expression de la courbure, on aurait, comme nous l’avions dit en général, un maximum et un minimum pour les courbures principales.

L’indicatrice pourra encore être du genre de la parabole, qui comprend le cas de deux droites parallèles : cest ce dernier cas qui arrivera si lon a

TE Ou ONE. Er 0.

Cela ne signifiera pas que la section de la surface par le plan parallèle au plan tangent n’est pas une parabole ; car une parabole dont le parämètre est infiniment petit, étant considérée à une distance finie de son sommet, se confond sensiblement avec deux droites parallèles. Ainsi, lors même que la section serait une parabole, l’indicatrice se présenterait comme l’ensemble de deux droites parallèles, excepté dans le cas où le sommet de cette parabole serait

à une distance infiniment petite du point que l on considère sur la surface : ce cas ne peut être qu’exceptionnel} à puisqu'il n'a pas lieu dans l'hypothèse la plus ordinaire, où l'équation de la surface peut être développée comme 4 nous l'avons supposé. " à Lorsque E indicatrice est du genre de la parabole, il n’y a qu’une seule direction pour laquelle la courbure soit | nulle, ou le rayon de courbure infini; c’est celle de l'axe F3 de la parabole, | , 6 Cette direction est celle de la courbure minimum ; EU courbure maximum est dans :la direction D erpeti die laire. | e:

245. La courbure des sections obliques se ramène ET celles des sections normales. En effet, soit HK (fig. 8) l'intersection du plan de l’indicatrice et d’un plan passant par la tangente en À , à la section normale BAC, et faisant un angle e avec le plan de cette section. La corde HK étant parallèle à la tangente menée en À à la courbe HAK , Ja. # | perpendiculaire AP abaiïssée de À sur KH, partage cette ligne en deux parties que l’on regardera comme égales, parce qu'elles ne diffèrent que d’un infiniment petit du Ù second ordre : OP est perpendiculaire à HK., ei du second" |

— iange. On peut donc

ë OP ordre comme AO, puisque ri

regarder les longueurs BC, HK comme égales; et le rayon

: NC : PE de courbure de la section HAK , qui a pour valeur me

; il est donc égal à celui de la secuon«

sera égal à Fe LÀ

AU A AO "HR normale BAC multiplié par px °U COSE. D'où l’on déduit ce théorème remarquable, dû à Meunier, queen rayon de courbure d’une section oblique s'obtient em

projetant sur le plan de cette section le rayon de cour- « bure de la section normale qui a la méme tangente.

246. La position particulière que nous avons donnée aux axes a rendu plus facile la démonstration des propriétés précédentes; mais il est nécessaire de traiter la

Q question pour une position quelconque des axes, parce qu'on peut avoir à déterminer les sections principales en un point quelconque d’une surface, rapportée à des axes rectangulaires quelconques.

Soient d, 7’, z' les coordonnées d’un point quelconque : d'une surface donnée, et &, 6, y les angles formés avec

les axes par une tangente à la surface en ce point, on aura cosy — p cosa + q cosé, puisque l'équation du plan

‘tangent est z—z —p{x—x)+q(y— 7), et que les différences x — x/, y — y’, z — z! sont proportion-

- nelles aux cosinus des angles que fait avec les axes une

droite située dans ce plan. Si l’on substitue à cos sa valeur

Vi — cos’« — cos’6, on obtient (1) (1+p°) cos’« + 2 pq COS & COS6 + (1 + g')cos 6— 1.

C’est la condition pour que les angles «, 6 appartiennent à une tangente quelconque. |

Si, par le point {x’, y’, z') et par un autre point infiniment voisin pris sur la courbe qui se rapporte à cette tangente, on mène deux plans normaux à cette courbe, ils se couperont suivant l'axe du cercle osculateur de cette courbe, et les équations de cetic droite seront

(x—x)dx +(y—y')dy + (z— 2) dz = 0, (x— x')dx +(y—y')dy +(z-- 2) d'z = ds".

Ceite ligne étant dans le plan normal à la surface, rencontre la normale, dont les équations sont

x +plz—7)=0, Y—ÿ +qlz—-z)=o.

334 LIVRE IVe SR Les coordonnées x, y, z du point de rencontre seront données par les équations AA 550 1 q 2 32— 7 = — —V= — — T—L = —- — Dre D” D’

en posan t

3 — pd x! — qd y! = D ds”.

La valeur de D peut être transfermée en différentiant l'équation

| dz' — pdx! + qdy', ce qui donne

dz = pd'x + q& y" + rdx"? + dE: Pre

et, par suite, | ! dx! \? dæ*, dy" dy! à Dent Dr QE NE Rs À (+) RAS De +:($)

— r c0S a + 2 s cOS4 COS 6 + £ cOS?6.

On voit par là que D reste le même si & et 6 ne chan=« gent pas; il en est donc ainsi du point de rencontre de lam ARR à la surface, et de l'axe du cercle osculateur dem toutes les sections obliques, dont le plan passe par la même tangente. 4

Il résulte de là que toutes ces sections ont leurs centres » de courbure sur une circonférence dont le plan est per- À pendiculaire à leur tangente commune, et dont le dia mètre est la ligne qui joint le point de contact au point fixe, que nous venons de trouver sur la normale. Cen point est donc lui-même le centre de courbure de la sec. tion normale; et l’on voit que les rayons de courbure de toutes les sections qui ont la même tangenté sont sl

respectif | D'après les valeurs que nous avons trouvées pour les À

… coordonnées du centre de courbure de la section normale, son rayon de courbure aura pour expression

E+ip? à rh Aa a A 6 PA, ou

I + 2 + 2 (2) Fe TETE r COS &œ + 25 cosa cos6 +- t cos? 6

247. Le maximum ou le minimum de R, relativement à la variation de « et 6, correspond au minimum ou au maximum du dénominateur, et sera donné par l’équation

(r cos + s cos6) d,cosa — — {s cosa + tcos6) d.cos6,

on éliminera d.cosx et d.cos6 en diflérentiant l’équation (1), ce qui donne | [(1 + p') cosa + pq cos6 | d.cosa = —{[(1+ 9?) cos6 + pq cosa] d.cos8,

et , divisant ces deux équations par ordre, il vient

r COSa + s COS 6 HR tCOS6 + 5 COS & (3) (ap?) cosa + pq cos6 {1 + g°)cos8 + pq cosæ

Les équations (1), (2), (3) déterminent les valeurs de &, 6, R, qui se rapportent aux sections principales.

Pour faire plus commodément ce calcul, on multipliera par cosa les deux termes de la fraction qui forme le premier membre de l'équation (3), et par cos6 les deux termes du second membre, puis on ajoutera les numérateursentre eux et les dénominateurs entre eux ; la fonction