CHAPITRE XXI

CERCLE OSCULATEUR.

163. De même qu'il a été intéressant de chercher la limite de la direction suivant laquelle on passe d’un point d’une courbe à un autre infiniment voisin, et que nous avons appelé la direction méme de la courbe en ce point, de même il est naturel de chercher le cercle, c’est-à-dire la ligne la plus simple après la droite, qui serait la limite de ceux qui, ayant un point donné commun avec une courbe, ont encore dans le voisinage autant de points communs avec elle que le comporte la nature du cercle. De là ce problème :

Trouver la limite des cercles qui passent par un point donné d'unecourbe,et par deux autres points de la méme courbe, infiniment voisins du premier.

Ce cercle limite se nomme cercle osculateur.

Soient M (fig. 82) un point d’une courbe quelconque, N, P deux autres de ses points infiniment voisins du premier ; faisons passer un cercle par ses trois points. On sait que dans tout cercle un arc est égal au produit du diamètre par l'angle inscrit opposé : d’après cela, en désignant par r le rayon du cercle qui passe par les points M, N, P, on aura, en désignant l’are de cercle par MP, etobservantque l'angle inscrit est égal à l’angle extérieur N,

et l’on pourrait encore prendre le rapport de la corde au sinus de N.

Maïs nous avons vu que l’angle extérieur N est égal à la moitié de la eourburew de l’arc MP dela courbe, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet angle; et d’ailleurs le rapport de l'arc de cercle MP à l'arc de la courbe a pour limite Punité, puisque leur

* ds MP corde est la même. La limite de

est donc la même que

arc MP

celle de , arc MP désignant l’are de la courbe

CG) donnée.

Si donc on représente par R la limite de r, ou le rayon» du cercle oscillateur, on aura

à arc MP R — lim. Er o)

ce qui n’est autre chose que le rayon du cercle de cour= bure. Il est d’ailleurs évident que ce cercle est tangent à la courbe en M, puisque la limite de la direction MN sera une tangente commune.

Le cercle osculateur se confond donc avec le cercle de courbure.

Remarque. — Nous devons faire ici une observation importante. Les raisonnements précédents n'imposent aucune conditign à la position du point N entre M et P; elle peut diviser l'arc MP en deux parties du même ordre ou d’un ordre différent; l'angle extérieur pouvant tous jours être remplacé par la moitié de la courbure de Pare MP, on arrivera toujours au même résultat. On pourrait, par conséquent, faire coïncider M et N, c’est-à-dire mener un cercle tangent en M à la courbe, et passant par

le point infiniment voisin P, et l’on trouverait le même cercle limite.

… C’est d'ailleurs ce que l’on peut reconnaître directement; il suffira de remplacer l'angle N par celui de la tangente en M avec la corde MP : le diamètre du cercle variable sera le rapport de l’arc de cercle MP à cet angle, qui peut être remplacé par la moitié de la courbure de l'arc MP de la courbe. On trouve donc encore méme limite pour le cercle tangent en M à la courbe et passant par un autre point de la courbe infiniment voisin du premier.

164. On peut donner pour le rayon du cercle osculateur une formule dépendante des accroissements de l’ordonnée et de l'arc de la courbe, correspondants à ceux de l’abscisse,

Les deux points infiniment voisins du premier pouvant ètre pris d’une manière quelconque sans changer le résultat, nous supposerons qu'ils correspondent à deux accroissements successifs égaux de l’abscisse. Soit 2 la valeur d’un de ces accroissements; / l’accroissement correspondant de l'arc; k l’accroissement correspondant de y; k, Paccroïissement de cet accroissement-quand on y change x en x + h; soient M, M’, M” (jig. 83) les trois points de la courbe, O le centre du cercle qu'ils déterminent, R son rayon, MH, M'H les accroissements correspondants L, k des coordonnées rectangulaires de M; M'H, MH les accroissements de ces mêmes coordonnées à paruür de M’, de sorte que d’après ce qui précède on at MH = Ah, SM'— k,. L'accroissement / de l'arc, à parür de M, pourra être remplacé par la corde MM’, ou son égale M'S dans les rapports dont on cherchera les limites.

Dans les deux triangles OIM”, MM'H dont les angles |

tendent vers les mèmes limites, les rapports des côtés ont les mêmes limites; et comme nous le savons, nous pourrons sans inconvénient les regarder comme égaux : les calculs seront plus simples et les résultats ne seront pas altérés; nous écrirons donc la relation

M'IS MH RMS R MM’ RASE

Les deux sécantes SL, SM donneront la proportion

SL SM 2WI+A Las SM SM” 21 FERMER

Éliminant MT, il vient

ps Re TE

Observant que le second terme du dénominateur est infi= niment petit par rapport au premier, on aura, pour la limite de R ou pour l'expression du rayon de courbure,

Him.