Soient la courbe U'V' (fig. 81) roulant sur UV

HK la courbe liée à U’V’, et H'K' son enveloppe. Soient |

A le point de contact de UV, U’V’ dans une position quelconque , O, O' les centres de courbure de ces deux lignes, R ,R leurs rayons de courbure, 71 la longueur de la normale AM abaissée de À sur HK, 0 l’angle qu’elle fait avec la normale commune OA O0. |

D’après ce qui précède , le point M appartient à l’enveloppe de HK. Pour avoir un point de cette mème courbe, infiniment voisin de M, prenons sur UV, U'V' deux ares égaux infiniment petits AN, AN’, que nous désignerons par w, et abaïssons de N’ une normale N’B’ sur HK. Lorsque, dans le roulement de U'V', N° sera venu coïncider avec N, le point B' de HK sera devenu le point de l’enveloppe, puisque N'B/ sera alors la normale abaïssée sur HK du point de contact N des deux courbes UV, U/V’. Soit B la position que B’ aura prise ainsi, BN sera la normale commune à l’enveloppée et à H’K; le point X où elle rencontre la normale infiniment voisine a pour limite le centre de courbure de l’enveloppe, et nous le considére= rons dans-nos calculs comme étant ce point même.

De même nous considérerons le point de rencontrel des deux normales à HK aux points infiniment voisins M; B' comme étant le centre de courbure de HK , et nous El

rons

Rp MX — p.

Cela posé, lorsque le point N sera devenu le point de contact, le système mobile aura tourné d’une quantité angulaire égale à l’angle que faisaient les deux tangentes en N, N'lorsque À était le point de contact. Cet angl i

Ù q P PAC URSS est le même que celui des normales NO, N'O, est égal à la

CE œ somme des angles O, O' ou à are

Mais, d’une autre part, la ligne N’B'T étant venue coïncider avec BNX, la quantité dont le système a tourné doit

être égale à la somme des angles 1, X ; d’où résulte

Pour évaluer les angles I, X on abaïssera de À des perpendiculaires sur IN’ et BX ; elles auront pour valeur w cos®, et l’on aura, par conséquent,

o COS y w COS y

mt

d’où résuliera l’équation

D D Us, R R’ n +p' p— x ou I 1 T I (4) stp ose( +),

ce qui détermine p au moyen de R, R, p',n, ®.

On voit donc que le rayon de courbure en un point quelconque de l'enveloppe ne dépend que des rayons de courbure des trois courbes UV, U/V', HK et non de ces courbes mêmes; de sorte que, pour cette détermination, on pourrait les remplacer par leurs cercles osculateurs,

correspondants à la position quelconque que l’on considère.

160. On retomberait dans le cas primitivement examiné, si l’on supposait que le rayon de courbure p”füt constamment nul, parce que la courbe HK se réduirait alors à un point. On voit, en effet, que l’équation (4) coïncide avec l’équation (1) lorsque l’on fait p' = 0. La première question n’est donc qu'un cas particulier de la seconde, et l'équation générale (4) renferme la solution de l’une et de l’autre; on pourra donc se borner à conserver cette dernière formule, (

ExempLe. — Appliquons la formule (4) au cas déjà examiné, où les courbes UV, U'V' sont des cercles , et HK un diamètre de ce dernier.

Il faut alors supposer R, R’ constants et p = ©, ce qui réduit d’abord la formule (3) à la suivante :

1 LENCO Là ÉERURIT: CRT Tri d’où De ch 2 e I I R'VR4

Exprimant coso au moyen de n, d’après la relation évidente 7 = R'cosv, il vient

az (2R +R’) Dh SP

En comparant cette valeur à la formule générale (3) relative aux épicycloïdes, on reconnait, comme cela devait

ètre, que p est le rayon de courbure d’une épicycloïde dée + 9 R’ crite par un point d'un cercle de rayon ge roulant sur.un

cercle de rayon KR.

Mesure du glissement de la courbe mobile sur son enveloppe.

161. Si l'arc MB pouvait être égal à MB’, la courbe HK roulerait sans glisser sur l'enveloppe H'K’. Cela n’est pas possible, parce que le système mobile devrait alors tourner autour du point de contact M supposé immobile, ce qui ne peut être, puisque le point À l’est dmi-mème. Car les vitesses de tous les points seraient nulles, si celles de deux points l’étaient; et si toutes les vitesses étaient nulles à chaque instant, le système serait constamment dans la même position.

Nous allons d’ailleurs reconnaitre que le calcul donne des valeurs essentiellement différentes pour MB et MB”. En effet, on a

MB—=pX—É TT, MB pr PET; p—u p +72 donc : > dr MB—MB= o cos9[ Fent. -)= Ra'cus gate p—n p+n (p— n)(p°+ n)

et, en vertu de l'équation (4),

I I | MB — MB'—= 760 [= +— | —nr(0 +0).

C'est ainsi que M. Savary, après avoir établi la formule (4) dans ses feuilles sur les engrenages, a donné le calcul de Parc de glissement dont la considération est indispensable dans la théorie des machines.

1602. Mais nous allons montrer comment il est possible de calculer cet arc de glissement sans introduire les rayons de courbure des deux courbes qui glissent l’une sur

CA NTUE

l'autre, et, par conséquent, sans avoir besoin de connaître la formule (4).

En effet, avant de calculer cette formule, nous avons fait voir que si l’on prenait deux arcs infiniment petits. égaux AN, AN’ sur UV, U’V/; que de N’on abaissâät une normale N’B’sur HK , et de N une normale NB sur H'K', le point B’ de la courbe mobile venait prendre la position B, lorsque N’ coïncidait avec N.

Or les Arcs MB’, MB étant tangents, le point B’ peut être considéré comme appartenant à l’arc MB , en négligeant les infiniment petits du second ordre. Donc on peut prendre M’B pour la différence MB — MB, ou l'arc de glissement. Mais B’B peut aussi être regardé comme un arc de cercle décrit du centre À avec le rayon 7, pendant que le système tourne de l’angle O + O’ pour arriver à sa seconde position. ‘

Donc y

; I i MB— MB — (0 +0')= 70 (i+x)