NOTATIONS

en +

168. Nous avons démontré (n° 69) que le rapport des accroïssements infiniment petits correspondants d’une fonction et de la variable dont elle dépend, tend en général vers une limite déterminée, et nous avons nommé cette limite dérivée de la fonction par rapport à la variable indépendante.

L'accroissement positif ou négatif d’une variable quelconque , dépendante ou indépendante, se nomme la drfférence de cette variable, et se désigne par la caractéristique À suivie de la lettre qui représente la variable.

Ainsi Ax,Ay, Az, etc., représentent les différences ou accroissements des variables x, y, z, etc.

La dérivée d’une fonction se désigne, comme nous l’avons déjà dit, par la lettre même qui désigne cette fonction, affectée d'un accent : de sorte que les dérivées par rapport a x des fonctions F (x), f (x), p (x), ete., s'écriront ainsi :

Fox), f(x), (x).

Aïnsi, d'après la notation des diflérences, si l’on dé-

Signe.une fonction quelconque F (x) par y, on aura, en

supposant que A x et ÀAy tendent vers zéro,

A ñ J ALT (x)

him. À

et, par conséquent, en représentant par & une certaine 2:

220 LIVRE fi.

quantité tendant vers zéro en même temps que NE

—F'{x)+a, et Ay=—=F'(x)Ax+baAx-

169. Cette dernière expression nous fait voir que l’ac= croissement infiniment petit d’une fonction quelconque peut être considéré comme composé de deux parties, dont lune & A x est infiniment petite par rapport à l’autre qui est F”’ (x) Ax. Or nous savons que les limites des sommes ou des rapports d'infiniment petits, ne sont pas altérées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d’autres qui en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux. Donc, toutes les fois que A y entrera dans un calcul comme terme d’un rapport ou d'une somme dont on cherchera la limite, on pourra le remplacer par F'(x}Ax, c'est-à-dire par le produit de la dérivée de y par l’accroissemeni infiniment peut de la variable indépendante x.

On donne le nom de différentielles à ces quantités que l'on peut substituer aux différences infiniment petites des fonctions. Elles sont plus simples, puisqu'on néglige dans celles-ci le terme « A x qui est presque toujours excessivement compliqué. Ce sont même les plus simples quantités que l’on puisse considérer au lieu de l’accroissement de la fonction correspondant à l'accroissement arbitraire Ax, puisque c'est le simple produit de ce Ax par une fonction où À x n'entre pas.

Les différentielles , ces quantités infiniment petites, plus simples, que l’on peut substituer aux différences elles-mêmes, se désignent par la caractéristique d, aun lieu de À, et comme elles ne sont autre chose que le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement de la variable, on aura

AY: EE Ay = ENT) ou PS |:

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 22Q la différentielle est donc une quantité dont le rapport à l'accroissement de la variable est égal à la limite du rapport de la différence de la fonction à ce mème accroissement. On voit que la recherche de la dérivée ou celle de la différentielle d’une fonction sont une seule et même question.

170. Si l’on suppose que la fonction y soit x lui-même, on aura

D ir): et dy— Ar.

Ainsi la différentielle de la fonction y, qui dans ce cas est x, est identique à A x, c'est-à-dire que lon a

LLSS AT:

et, comme il est plus naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, toutes les fois qu'il s agira de différentielle de fonctions de x nous représenterons l'accroissement de x par dx; et, lorsqu'il s'agira des accroissements exacts désignés par la caractéristique À, nous représenterons l’accroissement de x par A x.

Remarque. — Si, dans une même question, on a à considérer une variable indépendante x et plusieurs fonctions y, Z, u, v, etc., de cette variable; que l’on représente par AY, A z, Au, Av, etc., les aecroissements de ces fonctions, RUES à un même accroissement.

À x de x; et par dy, dz, du, dv, etc., leurs différentielles correspondantes à dx — À x : toutes ces différentielles seront dans des rapports constants avec dx et, par conséquent, les unes avec les autres, à mesure que dx tendra vers zéro. Ces rapports constants seront évidemment les limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes.

230 LIVRE 1f.

Ainsi, par exemple , on aura A do : A — = lim. , dy À

de SRG ; de sorte que == est la dérivée de # par rapport à y, quelle dy -

que soit la variable commune par rapport “à laquelle on ait pris les difiérentielles dv et dy. Ce qu on peut encore

L2 « . de exprimer d'une autre manière en observant que 4 est le

rapport de 2 à ee et on obtient cette proposition que

la dérivée d'une variable v par rapport à une autre va-

riable y, est égale au rapport des dérivées de » et y par

rapport à une méme variable quelconque x, dont elles | peuvent élre considérées comme dépendantes:

Des fonctions simples, des fonctions de fonctions et des fonctions composées.

174. La manière dont une quantité peut dépendre d’une autre est susceptible d’une variété indéfinie. Parmi toutes les formes possibles de fonctions, on en a choisi ur certain nombre irès-limité, auxquelles on est convenu de chercher à ramener toutes les autres. Elles sont telles que , Soit par les premières opérations de l’arithmétique* soit au moyen des Tables construites d'avance, on peut avec un degré suffisant d’approximation, obtenir leurs valeurs correspondantes à des valeurs numériques quel=» | conques de la variable dont elles dépendent.

Ces fonctions, que l’on désigne sous le nom de-fone= tions simples, sont ies suivantes, dans lesquelles a dé= signe une quantité indépendante de la variable x: a

[44 8 y, a— ZX, ax, —» x" (m étant un nombre réel quelcon Ê 5 44 :

que), a%, sinx, cosx, tangx, colx, sécæ, coséc x; et les fonctions inverses logx, are sinx, arc cos x, arctangæ, arc cotx, arc séc x, arc COsécr.

Une fonction quelconque de x peut être soumise aux opérations qui constituent une nouvelle fonction; on a alors une fonction d’une fonction de x. En la considérant elle-même comme une variable, on peut encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle foncton, et ainsi de suite. Les fonctions obtenues de cette manière se nomment, en général, des fonctions de fonctions.

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs fonctions de x, on la nomme une fonction composée de x, et c’est le cas le plus général des fonctions explicites, c’est-à-dire de celles qui sont l'indication d'opérations qu’on sait effectuer. (

Dans tous les cas, lorsque deux fonctions, renfermant un nombre quelconque de variables dépendantes d'une seule, sont toujours égales, quelque valeur qu'on donne à cette variable, il est clair que leurs accroissements Correspondants sont toujours égaux, et que, par conséquent , leurs dérivées par rapport à cette variable le sontaussi, ainsi que leurs différentielles.

D'où il résulte que, quand une équation à lieu pour toute valeur de la variable indépendante, les dérivées ou les différentielles de ses deux membres par rapport à cette variable sont égales, quelque valeur qu'on lui donne.

Nous allons faire connaître les principes au moyen desquels la détermination des différentielles ou des dérivées de toutes ces fonctions se ramène à celles des différentielles ou des dérivées des fonctions simples.

Différentiation des fonctions de fonctions.

172. Considérons une fonction u de x, déterminée par la suite d'équations

u—=F(3),, 2= {70 PR

et cherchons sa dérivée par rapport à x, ou la limite du Au , , rapport — dont les deux termes tendent vers zéro, opé- DA :

ration qu’on appelle différentiation. Soient Au, Az, Ay les accroïssements de u, z, y correspondants à l’accroiïssement À x de x; on aura identiquement

d’où, en observant que la limite d’un produit est le produit des limites,

Au AUS A TOR RER lim. — = lim. —: lim. — lim. ——#"()# Fe

re RTE ne 3 = (2) 01) pe) Donc la dérivée de u par rapport à x est le produit des dérivées de u par rapport à z, de z par rapport à y, et de y par rapport à x.

Si l’on représente la dérivée de u par rapport à x par le“

rapport des différentielles, on aura

ou du =EF'(z)f" (y) + (x) dx.

C’est en cela que consiste le principe de la différentia=" tion des fonctions de fonctions. Il a lieu évidemment; quel que soit le nombre des fonctions accumulées ; et il

Re Re CNE"

ramène à la simple différentiation de chacune de ces fonctions, considérée isolément.

Différentiation des fonctions inverses.

173: Si l’on désigne une fonction F(x) par y, c’est-àdire si l’on pose Mes E tas et qu’en résolvant par rapport à x, on en tire

on dit que les fonctions F et © sont inverses l’une de l’autre.

Cela posé, ces deux équations étant les mêmes sous une forme différente, elles donneront les mêmes accroissements correspondants pour x et y. Soient Ax, Ay ces accroissements , On aura

gr) LE)

(x) = lim. 7 — lim.

Ax Ax

(ir)

d’où il résulte que, pour avoir la dérivée d’une fonction

F(x) inverse de la fonction o(x), dont on sait trouver

la dérivée , il suffira de prendre la réciproque de la fonc-

tion dérivée Ÿ', et de placer sous ce signe la fonction pro-

posée F (x).

Expression de l'accroissement infiniment petit d’une

Jonction de plusieurs variables dépendantes ou indépendantes.

174. Considérons une fonction y qui dépende de deux variables u, w, et soit

HE (ul

Si l’on donne à & et v des accroissements infiniment petits

Au, Av dépendants où indépendants l’un de Pautre , suis vant que w et # le seront eux-mêmes, accroissement cor: respondant de y sera

Ay —=F(u + Au,v+ Av)— F{u,v) et pourra se mettre sous la forme

Ay —=F(u+Au,r)—F(u,v) + Fu +au,v + Av) — F(u + Au,v).

e . 4 74 L] 12 L] Les deux premiers termes peuvent s écrire alInsi :

F(u + Au,v)— F(u, GE : Au

Le coeflicient de Au ne diffère que d'une quantité inf= niment petite de la dérivée de F'(u,) par rapport à & y étant considéré comme constant. Soit F,(u, ») cette dé= rivée, que l’on appelle dérivée partielle de Eu, v); où de y, par rapport à u; l'expression précédente pourra mettre sous la forme

[Fi(w,v)+a]Au,

a désignant une quantité qui devient nulle avec Au. La seconde partie peut se mettre sous la forme

F(u+Au,r + Av) —F(a + au; v}A AO

pes

et le coeflicient de Av ne différera de la dérivée“de F(u+ Au, v) par rapport à # considéré comme seule variable, que d’une quantité 6 qui deviendra nulle avec Av. Soit F,(u,v) la dérivée partielle de K(u, v}par rapport à #; on pourra donc mettre la seconde partiede À y sous la forme |

[E(u +au,v) + Bla,

5 devenant nul avec Av.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 235 Mais Fé{u + Au, v) ne diffère de F,(u,v) que d'une quantité qui deviendra nulle avec Au; l’ajoutant avec f, et en désignant leur somme par &', la seconde partie de Ay aura pour valeur

[F(u,e) + a]av; et par conséquent , en réunissant les deux parties de À y, Ay—={Fi(u,v) + a]Au +[F,(u,v) +a!]aAr.

Or Au, étant infiniment peüt par rapport à la première partie, l’est par rapport à Ay lui-même; et il en est de même de «Av, soit que Au et Av soient dépendants ou indépendants l’un de l’autre. Donc, en désignant par wo une quantité infiniment petite par rapport à A y, on aura Ay — Fi(u,v)Au + F,(u,v)Av + o.

On représente les dérivées partielles F(u, v), F,(u, v)

dE IF(u,o d 1 PE e par dE(u, a meta v) u n' 4 LUE mais il faut bien se du dv du de

rappeler que ces deux dy sont différents et représentent PP q x Ï les différentielles de y relatives à la variation d’une seule des quantités u, # : on les nomme les diflérentielles partielles de y par rapport à « ou à v. Euler avait proposé HE Qu pes NV. j dy d d'écrire ainsi ces dérivées partielles : ae) (e). On a iU (44 4 supprimé, depuis, ces parenthèses, parce qu'avec un peu d'attention, toute méprise est impossible. L’équation "précédente s’écrira alors de cette manière : dy dy AYy=—Au + — A0 + w ; Y du de À et il est bon de se rappeler que w se compose d’abord d'une partie qui, divisée par Au, devient encore nulle quand on y fait Au — 0, et d’une autre partie qui, après

avoir été divisée par Av, contient des termes qui deviennent nuls, les uns quand on y fait Au — 0, et les autres quand on y fait A — 0.

On aurait des résultats analogues pour un nombre quelconque de variables u, », etc., soit entièrement indé pendantes, soit dépendantes les unes des autres, ou d'au tres variables quelconques.

Différentiation des fonctions composées.