Soient Y= Lu, PER et

u— f(x), v= 6 (2) EN eee

y sera alors une fonction composée, relativement à x. Pour avoir sa dérivée, on remarquera que, d'aprèsce qui précède, on a, en supposant les accroïssements infi niment petits, d d d AY NAT Ag ve LRU + 0; du dv de a) étant infiniment petit par rapport à Ay.

Divisant par A>x et passant aux limites, on obtient

dy __ dy du dy dv dy dw dx du dx | do dx dwdz |?

: «té

L2 L 1 L2 1 l expression dans laquelle il ne faut pas oublier que pe du :

d d PT » . L L; Ér 23° ont les dérivées partielles de la fonction V. Si x dv dw | + entrait explicitement dans F{u, w, w,...), par exemple e 9 » e d e. 0 d si 4 n'était autre chose que x, “e deviendrait et se- * du dx

rait la dérivée partielle de la fonction par rapport à æ;

tandis que le % du premier membre est la dérivée totale de la fonction dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x. On ne se méprendra jamais sur le sens de ces notations : c'était pour éviter toute crainte à ce sujet, qu Euler avait proposé, comme nous l'avons dit, de mettre en deux parenthèses les dérivées partielles ; maïs on a renoncé à cette précaution. L'équation ci-dessus donne, en multipliant les deux

membres par dx,

d d dy dy = du + “de + PA MEN RIAA À

[/A que l’on écrit quelquefois ainsi :

dy = d,y + d,7 + dir +....

On peut donc énoncer ainsi le principe de la différentia-

tion des fonctions composées :

La difjérentielle d’une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles, relatives à chacune des variables qui y entrent explicitement.

Quant aux différentielles du, dv, etc., de ces dernières, elles se rapportent toutes à la différentielle dx de la variable unique dont elles dépendent.

176. Théorème des fonctions homogènes. — La diférentiation des fonctions composées donne la démonsiration d’un théorème remarquable sur les fonctions homogènes. On dit qu’une fonction de plusieurs variables est homogène et du degré m, lorsqu’en multipliant chaque variable par une indéterminée t, la fonction se trouve multipliée par 1”.

Cela posé, soientu—F(x,7y,z,...)une fonction homogène du degrém, eto(x,7,z,...),d(x,7y,z,...), ete, ses dérivées partielles par rapport à x, y, etc.; on aura,

d’après la définition précédente, Cr) F(er, mir. nl = NES

s ". . c] H Différentiant les deux membres par rapport à la variable : seulement, il vient

pÜérs ty, 12,...)2 (ie, ty,tz,.) nm mt (2, ai;

faisant & — 1 dans cette identité, on aura la suivante :

(2) D Dre EME +, CM,

C’est en cela que consiste le théorème des fonctions homogènes.

On peut remarquer que si. dans l’identité (1). on sup: P | q ; ) UP

I ; pose {— -; on obtient (2

F(r,J2s.) F(: Lay 2.) SE Na

Ainsi une fonction homogène de degré m, divisée parmi

puissance 72 d'une des CAS UD ne dépend plus que des

rapports des autres variables à L première. j!

Différentielle d’une somme, d’un produit ou d'un quotient.

JR 177. La règle précédente, appliquée à une sommede

iermes, montre que la diflérentielle d’une pareille fonction est la somme des différentielles de chacun de ses termes, ce qui était d’ailleurs évident de soi-même.

Si l’on suppose maintenant y = uvsv..., la même règle donnera, en observant qu’en général d[ AF(x) [= AdE(x}

si À est un coefficient constant, .

dy ÉLUS EN. du t- UwW. . de —- UV. , . dx —+- è